5-) Pelas regras calcule derivadas parciais solicitadas
Misturando regras
Misturando regras
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais solicitadas da função
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é o produto de duas partes:
e . - Domínio explícito necessário para a função:
(porque só está definida para argumentos positivos). - Provavelmente as derivadas pedidas são as parciais primeiras
e . Vou calcular ambas.
Passo 2
Regra que vamos usar (produto para derivadas parciais): se
e
são funções diferenciáveis, então
Explicando cada termo:
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo; o mesmo vale para
. A regra é análoga à regra do produto em função de uma variável, só que se toma derivada parcial (tratando a outra variável como constante).
Passo 3
Identifico as duas funções do produto:
Passo 4
Calcular
aplicando a regra da cadeia. Seja
, então
. A regra da cadeia diz
Aqui
. Substituindo
obtemos
Comentário didático: a regra da cadeia serve quando há uma potência composta; primeiro reduz-se a potência (derivada
) e multiplica-se pela derivada do interior
.
Passo 5
Calcular
de forma análoga. Como
, temos
Passo 6
Calcular as derivadas parciais de
. Usamos que a derivada de
em relação a
é
, e depois derivamos o argumento
.
- Para
:
- Para
:
Observação: ambas são iguais porque
e
aparecem simetricamente dentro do argumento
.
Passo 7
Agora montamos
usando a regra do produto:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Podemos fatorar
para deixar mais compacto:
Passo 8
Analogamente para
:
Substituindo:
ou, fatorando
,
Passo 9
Observações finais e dicas para prova:
- Lembre sempre de verificar o domínio: as expressões das derivadas parcial só fazem sentido quando
. - Em prova, escreva claramente qual função é
e qual é e aplique a regra do produto; depois calcule cada derivada parcial por partes (como fizemos), evitando pular a etapa da regra da cadeia. - Se preciso for, deixe as respostas na forma fatorada (como em passos 7 e 8) — isso costuma facilitar simplificações e checagens numéricas sem calculadora.
- Exemplo rápido de verificação: se
for mantido fixo e aumentar, a primeira parcela captura a variação da parte , enquanto a segunda parcela vem da variação de .