5-) Pelas regras calcule derivadas parciais solicitadas
Misturando regras
f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} \cdot \ln (x+y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais solicitadas da função
f(x,y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}\cdot\ln(x+y).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é o produto de duas partes: \left(x^{2}+y^{2}\right)^{3} e \ln(x+y).
  • Domínio explícito necessário para a função: \;x+y>0\; (porque \ln(x+y) só está definida para argumentos positivos).
  • Provavelmente as derivadas pedidas são as parciais primeiras \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}. Vou calcular ambas.

Passo 2

Regra que vamos usar (produto para derivadas parciais): se u(x,y) e v(x,y) são funções diferenciáveis, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(u\cdot v\bigr)=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot v + u\cdot\frac{\partial v}{\partial x}.
Explicando cada termo: \dfrac{\partial u}{\partial x} é a derivada parcial de u em relação a x mantendo y fixo; o mesmo vale para \dfrac{\partial v}{\partial x}. A regra é análoga à regra do produto em função de uma variável, só que se toma derivada parcial (tratando a outra variável como constante).

Passo 3

Identifico as duas funções do produto:
u(x,y)=\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{3},\qquad v(x,y)=\ln(x+y).

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial x} aplicando a regra da cadeia. Seja g(x,y)=x^{2}+y^{2}, então u=g^{3}. A regra da cadeia diz
\frac{\partial u}{\partial x}=3\,g^{2}\cdot\frac{\partial g}{\partial x}.
Aqui \dfrac{\partial g}{\partial x}=2x. Substituindo g=x^{2}+y^{2} obtemos
\frac{\partial u}{\partial x}=3\,(x^{2}+y^{2})^{2}\cdot(2x)=6x\,(x^{2}+y^{2})^{2}.
Comentário didático: a regra da cadeia serve quando há uma potência composta; primeiro reduz-se a potência (derivada 3g^{2}) e multiplica-se pela derivada do interior g_x.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial u}{\partial y} de forma análoga. Como g_y=2y, temos
\frac{\partial u}{\partial y}=3\,(x^{2}+y^{2})^{2}\cdot(2y)=6y\,(x^{2}+y^{2})^{2}.

Passo 6

Calcular as derivadas parciais de v(x,y)=\ln(x+y). Usamos que a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t, e depois derivamos o argumento t=x+y.
  • Para x:
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{1}{x+y}\cdot\frac{\partial (x+y)}{\partial x}=\frac{1}{x+y}\cdot 1=\frac{1}{x+y}.
  • Para y:
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{x+y}\cdot\frac{\partial (x+y)}{\partial y}=\frac{1}{x+y}\cdot 1=\frac{1}{x+y}.
Observação: ambas são iguais porque x e y aparecem simetricamente dentro do argumento x+y.

Passo 7

Agora montamos \dfrac{\partial f}{\partial x} usando a regra do produto:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\cdot v + u\cdot\frac{\partial v}{\partial x}.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
\frac{\partial f}{\partial x}=6x\,(x^{2}+y^{2})^{2}\cdot\ln(x+y) \;+\; (x^{2}+y^{2})^{3}\cdot\frac{1}{x+y}.
Podemos fatorar (x^{2}+y^{2})^{2} para deixar mais compacto:
\frac{\partial f}{\partial x}=(x^{2}+y^{2})^{2}\left[6x\ln(x+y)+\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\right].

Passo 8

Analogamente para \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial y}\cdot v + u\cdot\frac{\partial v}{\partial y}.
Substituindo:
\frac{\partial f}{\partial y}=6y\,(x^{2}+y^{2})^{2}\cdot\ln(x+y) \;+\; (x^{2}+y^{2})^{3}\cdot\frac{1}{x+y},
ou, fatorando (x^{2}+y^{2})^{2},
\frac{\partial f}{\partial y}=(x^{2}+y^{2})^{2}\left[6y\ln(x+y)+\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}\right].

Passo 9

Observações finais e dicas para prova:
  • Lembre sempre de verificar o domínio: as expressões das derivadas parcial só fazem sentido quando x+y>0.
  • Em prova, escreva claramente qual função é u e qual é v e aplique a regra do produto; depois calcule cada derivada parcial por partes (como fizemos), evitando pular a etapa da regra da cadeia.
  • Se preciso for, deixe as respostas na forma fatorada (como em passos 7 e 8) — isso costuma facilitar simplificações e checagens numéricas sem calculadora.
  • Exemplo rápido de verificação: se y for mantido fixo e x aumentar, a primeira parcela 6x(x^{2}+y^{2})^{2}\ln(x+y) captura a variação da parte (x^{2}+y^{2})^{3}, enquanto a segunda parcela (x^{2}+y^{2})^{3}/(x+y) vem da variação de \ln(x+y).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=6x\,(x^{2}+y^{2})^{2}\ln(x+y)+\frac{(x^{2}+y^{2})^{3}}{x+y}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=6y\,(x^{2}+y^{2})^{2}\ln(x+y)+\frac{(x^{2}+y^{2})^{3}}{x+y}

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