(Derivadas pela definição) Use o limite da taxa de variação média para calcular:
Determine o significado geométrico da derivada
no gráfico de
.
Determine o significado geométrico da derivada
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o significado geométrico de
no gráfico de
. As informações que tenho são:
- Existe uma função
e um ponto no domínio de . - A derivada em
é definida como o limite da taxa de variação média (ou seja, do quociente de diferenças) quando o incremento tende a zero.
Não há outros dados numéricos; a tarefa é interpretar geometricamente esse limite.
Passo 2
Vou escrever a definição que aparece no enunciado (taxa de variação média) e explicar cada símbolo. Para um incremento
(um número real pequeno, positivo ou negativo), a taxa de variação média de
entre
e
é
Explicando os símbolos:
-
é o ponto onde queremos a derivada. -
é o deslocamento horizontal a partir de ; quando muda de sinal, a aproximação vem da direita ( ) ou da esquerda ( ). - O numerador
é a variação vertical de entre os pontos e . - O quociente inteiro é a razão “variação vertical sobre variação horizontal”: a inclinação da reta que liga os dois pontos.
Passo 3
Agora relaciono isso com pontos no gráfico. Considere os pontos do gráfico
A reta que passa por
e
chama-se secante. A inclinação (coeficiente angular) da secante
é exatamente
Portanto a taxa de variação média é a inclinação da secante que liga
e
.
Passo 4
A derivada por definição é o limite dessa inclinação quando
tende a zero:
Interpretação: à medida que
fica menor, o ponto
se aproxima de
e as secantes
“giram” e se aproximam de uma reta única (se o limite existir). Essa reta limite é a reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 5
Conclusão geométrica explícita:
é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de
no ponto
. Em fórmulas, a reta tangente no ponto
tem equação
onde
aparece como o coeficiente que diz quanto a reta sobe ou desce quando
aumenta de uma unidade.
Passo 6
Vou dar um exemplo concreto e simples para fixar a ideia (passo-a-passo na conta). Tome
e
. A taxa de variação média entre
e
é
Tomando o limite
,
Isso significa que a reta tangente ao gráfico de
no ponto
tem inclinação
e equação
No gráfico: as secantes que ligam
a
têm inclinação
; quando
vai para zero, essas secantes convergem para a reta tangente de inclinação
.
Passo 7
Interpretação final em termos físicos/intuitivos (útil para prova):
-
mede a taxa de variação instantânea de em : quanto a saída muda por unidade de exatamente naquele ponto. - Se
, o gráfico sobe em ; se , o gráfico desce em ; se , a reta tangente é horizontal (possível máximo mínimo ou ponto de inflexão). - Unidade: se
tem unidade “metros” e tem unidade “segundos”, então tem unidade “m/s” (velocidade instantânea).
Resposta
A derivada
é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de
no ponto
; geometricamente, é o limite das inclinações das secantes
quando
, e também representa a taxa de variação instantânea de
em
.