(Derivadas pela definição) Use o limite da taxa de variação média para calcular:
Determine o significado geométrico da derivada f^{\prime}(a) no gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o significado geométrico de f^{\prime}(a) no gráfico de f. As informações que tenho são:
  • Existe uma função f e um ponto a no domínio de f.
  • A derivada em a é definida como o limite da taxa de variação média (ou seja, do quociente de diferenças) quando o incremento tende a zero.
Não há outros dados numéricos; a tarefa é interpretar geometricamente esse limite.

Passo 2

Vou escrever a definição que aparece no enunciado (taxa de variação média) e explicar cada símbolo. Para um incremento h (um número real pequeno, positivo ou negativo), a taxa de variação média de f entre a e a+h é
\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Explicando os símbolos:
  • a é o ponto onde queremos a derivada.
  • h é o deslocamento horizontal a partir de a; quando h muda de sinal, a aproximação vem da direita ( h>0) ou da esquerda ( h<0).
  • O numerador f(a+h)-f(a) é a variação vertical de f entre os pontos x=a e x=a+h.
  • O quociente inteiro é a razão “variação vertical sobre variação horizontal”: a inclinação da reta que liga os dois pontos.

Passo 3

Agora relaciono isso com pontos no gráfico. Considere os pontos do gráfico
P = \bigl(a, f(a)\bigr) \quad\text{e}\quad Q_h = \bigl(a+h, f(a+h)\bigr).
A reta que passa por P e Q_h chama-se secante. A inclinação (coeficiente angular) da secante PQ_h é exatamente
m_{\text{secante}}(h) = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Portanto a taxa de variação média é a inclinação da secante que liga P e Q_h.

Passo 4

A derivada por definição é o limite dessa inclinação quando h tende a zero:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Interpretação: à medida que h fica menor, o ponto Q_h se aproxima de P e as secantes PQ_h “giram” e se aproximam de uma reta única (se o limite existir). Essa reta limite é a reta tangente ao gráfico de f no ponto P.

Passo 5

Conclusão geométrica explícita: f'(a) é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(a,f(a)\bigr). Em fórmulas, a reta tangente no ponto a tem equação
y = f(a) + f'(a)\,(x-a),
onde f'(a) aparece como o coeficiente que diz quanto a reta sobe ou desce quando x aumenta de uma unidade.

Passo 6

Vou dar um exemplo concreto e simples para fixar a ideia (passo-a-passo na conta). Tome f(x)=x^2 e a=1. A taxa de variação média entre 1 e 1+h é
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^2-1^2}{h}=\frac{1+2h+h^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h.
Tomando o limite h\to0,
f'(1)=\lim_{h\to0}(2+h)=2.
Isso significa que a reta tangente ao gráfico de y=x^2 no ponto (1,1) tem inclinação 2 e equação
y=1+2(x-1)=2x-1.
No gráfico: as secantes que ligam (1,1) a (1+h,(1+h)^2) têm inclinação 2+h; quando h vai para zero, essas secantes convergem para a reta tangente de inclinação 2.

Passo 7

Interpretação final em termos físicos/intuitivos (útil para prova):
  • f'(a) mede a taxa de variação instantânea de f em a: quanto a saída f(x) muda por unidade de x exatamente naquele ponto.
  • Se f'(a)>0, o gráfico sobe em a; se f'(a)<0, o gráfico desce em a; se f'(a)=0, a reta tangente é horizontal (possível máximo mínimo ou ponto de inflexão).
  • Unidade: se f tem unidade “metros” e x tem unidade “segundos”, então f'(a) tem unidade “m/s” (velocidade instantânea).

Resposta

A derivada f'(a) é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(a,f(a)\bigr); geometricamente, é o limite das inclinações das secantes \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} quando h\to0, e também representa a taxa de variação instantânea de f em a.

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