(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada
da função dada. A função fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função está escrita com potências fracionárias; note que
e . - Há três parcelas somadas (com sinais): duas contêm
e duas contêm potências de ; a última contém . - O objetivo é calcular
, a derivada em relação a .
Passo 2
Relembrando as regras que vou usar (explicadas devagar, passo a passo):
- Regra do poder (power rule): para
com constante,
Ex.: se
então
.
- Regra do produto (product rule): para
,
Isso diz: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
- Derivadas trigonométricas básicas:
Vou aplicar essas regras parcela a parcela e somar os resultados.
Passo 3
Primeira parcela:
.
Aplicando a regra do produto com
e
:
-
(pela regra do poder), -
.
Logo
Ou seja,
Passo 4
Segunda parcela:
.
É conveniente ver
. Primeiro derivo
(produto) e depois multiplico por
.
Para
e
:
-
, -
.
Então
Multiplicando por
:
Passo 5
Terceira parcela:
.
Novamente, trate como
vezes o produto
.
Para e
:
Para
-
, -
.
Então
Multiplicando por
(por causa do sinal inicial):
Passo 6
Agora somo as derivadas das três parcelas:
Substituindo os resultados obtidos:
Agrupando termos semelhantes (os que multiplicam
e os que multiplicam
):
- Coeficientes de
:
- Coeficientes de
:
Portanto uma forma organizada para
é