(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cos (x)-\frac{2}{3} x^{-5 / 3} \cos (x)-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada f'(x)=\dfrac{dy}{dx} da função dada. A função fornecida é
f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\cos(x)-\frac{2}{3}x^{-5/3}\cos(x)-\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\operatorname{sen}(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função está escrita com potências fracionárias; note que \sqrt[3]{x^{2}}=x^{2/3} e \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}=x^{-2/3}.
  • Há três parcelas somadas (com sinais): duas contêm \cos(x) e duas contêm potências de x; a última contém \operatorname{sen}(x).
  • O objetivo é calcular f'(x), a derivada em relação a x.

Passo 2

Relembrando as regras que vou usar (explicadas devagar, passo a passo):
  • Regra do poder (power rule): para u(x)=x^{n} com n constante,
u'(x)=n x^{n-1}.
Ex.: se u(x)=x^{-2/3} então u'(x)=(-2/3)x^{-5/3}.
  • Regra do produto (product rule): para w(x)=u(x)v(x),
w'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isso diz: derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
  • Derivadas trigonométricas básicas:
\frac{d}{dx}\big(\cos(x)\big)=-\operatorname{sen}(x),\qquad \frac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)\big)=\cos(x).
Vou aplicar essas regras parcela a parcela e somar os resultados.

Passo 3

Primeira parcela: p_1(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\cos(x)=x^{-2/3}\cos(x).
Aplicando a regra do produto com u(x)=x^{-2/3} e v(x)=\cos(x):
  • u'(x)=(-2/3)x^{-5/3} (pela regra do poder),
  • v'(x)=-\operatorname{sen}(x).
Logo
p_1'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\left(-\tfrac{2}{3}x^{-5/3}\right)\cos(x)+x^{-2/3}\left(-\operatorname{sen}(x)\right).
Ou seja,
p_1'(x)=-\tfrac{2}{3}x^{-5/3}\cos(x)-x^{-2/3}\operatorname{sen}(x).

Passo 4

Segunda parcela: p_2(x)=-\dfrac{2}{3}x^{-5/3}\cos(x).
É conveniente ver p_2(x)= -\tfrac{2}{3}\big(x^{-5/3}\cos(x)\big). Primeiro derivo x^{-5/3}\cos(x) (produto) e depois multiplico por -\tfrac{2}{3}.
Para u(x)=x^{-5/3} e v(x)=\cos(x):
  • u'(x)=(-5/3)x^{-8/3},
  • v'(x)=-\operatorname{sen}(x).
Então
\frac{d}{dx}\big(x^{-5/3}\cos(x)\big)=(-\tfrac{5}{3}x^{-8/3})\cos(x)+x^{-5/3}(-\operatorname{sen}(x)).
Multiplicando por -\tfrac{2}{3}:
p_2'(x)=-\tfrac{2}{3}\big[(-\tfrac{5}{3}x^{-8/3})\cos(x)-x^{-5/3}\operatorname{sen}(x)\big] = \tfrac{10}{9}x^{-8/3}\cos(x)+\tfrac{2}{3}x^{-5/3}\operatorname{sen}(x).

Passo 5

Terceira parcela: p_3(x)=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\operatorname{sen}(x)=-x^{-2/3}\operatorname{sen}(x).
Novamente, trate como -1 vezes o produto x^{-2/3}\operatorname{sen}(x).
Para u(x)=x^{-2/3} e v(x)=\operatorname{sen}(x):
  • u'(x)=(-2/3)x^{-5/3},
  • v'(x)=\cos(x).
Então
\frac{d}{dx}\big(x^{-2/3}\operatorname{sen}(x)\big)=(-\tfrac{2}{3}x^{-5/3})\operatorname{sen}(x)+x^{-2/3}\cos(x).
Multiplicando por -1 (por causa do sinal inicial):
p_3'(x)=\tfrac{2}{3}x^{-5/3}\operatorname{sen}(x)-x^{-2/3}\cos(x).

Passo 6

Agora somo as derivadas das três parcelas:
f'(x)=p_1'(x)+p_2'(x)+p_3'(x).
Substituindo os resultados obtidos:
\begin{aligned} f'(x)=&\big(-\tfrac{2}{3}x^{-5/3}\cos(x)-x^{-2/3}\operatorname{sen}(x)\big) \\\ &+\big(\tfrac{10}{9}x^{-8/3}\cos(x)+\tfrac{2}{3}x^{-5/3}\operatorname{sen}(x)\big) \\\ &+\big(\tfrac{2}{3}x^{-5/3}\operatorname{sen}(x)-x^{-2/3}\cos(x)\big). \end{aligned}
Agrupando termos semelhantes (os que multiplicam \cos(x) e os que multiplicam \operatorname{sen}(x)):
  • Coeficientes de \cos(x):
-\tfrac{2}{3}x^{-5/3}+\tfrac{10}{9}x^{-8/3}-x^{-2/3}.
  • Coeficientes de \operatorname{sen}(x):
- x^{-2/3}+\tfrac{2}{3}x^{-5/3}+\tfrac{2}{3}x^{-5/3} = -x^{-2/3}+\tfrac{4}{3}x^{-5/3}.
Portanto uma forma organizada para f'(x) é
f'(x)=\Big(\tfrac{10}{9}x^{-8/3}-\tfrac{2}{3}x^{-5/3}-x^{-2/3}\Big)\cos(x) +\Big(\tfrac{4}{3}x^{-5/3}-x^{-2/3}\Big)\operatorname{sen}(x).

Resposta

f'(x)=\Big(\tfrac{10}{9}x^{-8/3}-\tfrac{2}{3}x^{-5/3}-x^{-2/3}\Big)\cos(x) +\Big(\tfrac{4}{3}x^{-5/3}-x^{-2/3}\Big)\operatorname{sen}(x)

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