Achar as inclinações das curvas a seguir, nos pontos indicados nos exercícios de 12 a 14.
em
Resolução:
Para
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos:
- Pede a inclinação da curva no ponto indicado, isto é, o valor da derivada no ponto
. - A função dada é
. - Informação útil que podemos calcular já: o ponto da curva em
é . (Isso não é pedido, mas ajuda a interpretar a inclinação.)
Passo 2
O que significa “inclinação da curva” e como vamos calcular:
- A inclinação da curva em um ponto é a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.
- Matematicamente isso é a derivada
avaliada naquele . - Definição via quociente de diferença (útil para entender): para
,
Essa expressão dá a taxa de variação instantânea de
em relação a
, ou seja, a inclinação da tangente.
Passo 3
Usando a definição para entender a regra de derivação do termo
:
- Primeiro calcule a derivada de
pelo quociente de diferença:
- Isso mostra por que a regra do “expoente desce e diminui um no expoente” funciona para
: .
Passo 4
Derivando a função completa termo a termo:
- A função é
. Aplicando a linearidade da derivada: - A constante
sai como fator: . - A derivada de uma constante é zero:
.
- A constante
- Portanto,
Passo 5
Avaliar a derivada em
:
- Substituindo
em ,
- Interpretação: a reta tangente à curva em
tem inclinação , ou seja, sobe unidades em para cada unidade em . - Se quiser a equação da reta tangente (opcional): ponto
e inclinação dão