Achar as inclinações das curvas a seguir, nos pontos indicados nos exercícios de 12 a 14.
y=3 x^{2}+2 em x=1

Resolução:

\frac{d y}{d x}=6 x
Para x=1 \Rightarrow \frac{d y}{d x}=6.1=6

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Pede a inclinação da curva no ponto indicado, isto é, o valor da derivada no ponto x=1.
  • A função dada é y=3x^{2}+2.
  • Informação útil que podemos calcular já: o ponto da curva em x=1 é y(1)=3\cdot1^{2}+2=5. (Isso não é pedido, mas ajuda a interpretar a inclinação.)

Passo 2

O que significa “inclinação da curva” e como vamos calcular:
  • A inclinação da curva em um ponto é a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto.
  • Matematicamente isso é a derivada \dfrac{dy}{dx} avaliada naquele x.
  • Definição via quociente de diferença (útil para entender): para f(x)=y,
\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Essa expressão dá a taxa de variação instantânea de y em relação a x, ou seja, a inclinação da tangente.

Passo 3

Usando a definição para entender a regra de derivação do termo x^{2}:
  • Primeiro calcule a derivada de x^{2} pelo quociente de diferença:
\frac{d}{dx}x^{2}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
  • Isso mostra por que a regra do “expoente desce e diminui um no expoente” funciona para n=2: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 4

Derivando a função completa termo a termo:
  • A função é y=3x^{2}+2. Aplicando a linearidade da derivada:
    • A constante 3 sai como fator: \dfrac{d}{dx}(3x^{2})=3\cdot\dfrac{d}{dx}x^{2}=3\cdot(2x)=6x.
    • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}2=0.
  • Portanto,
\frac{dy}{dx}=6x.

Passo 5

Avaliar a derivada em x=1:
  • Substituindo x=1 em \dfrac{dy}{dx}=6x,
\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=1}=6\cdot1=6.
  • Interpretação: a reta tangente à curva em x=1 tem inclinação 6, ou seja, sobe 6 unidades em y para cada 1 unidade em x.
  • Se quiser a equação da reta tangente (opcional): ponto (1,5) e inclinação 6 dão
y-5=6(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=6x-1.

Resposta

6

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