Uma régua de um metro está em repouso no referencial
fazendo um ângulo de
com o eixo
. Se
está se movendo com
em relação a
, qual o comprimento da régua em
e que ângulo faz com o eixo dos
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
Dados:
- A régua tem comprimento próprio
no referencial (ou seja, está em repouso em ). - A régua forma um ângulo
com o eixo . - O referencial
move-se em relação a com velocidade tal que (onde ).
O enunciado pede:
- O comprimento da régua medido em
. - O ângulo que a régua faz com o eixo
no referencial .
Passo 2
Calcular o fator de Lorentz
. Esse fator aparece sempre que usamos transformações relativísticas entre referenciais que se movem com velocidade
relativa um ao outro. A fórmula é
Substituindo
:
Passo 3
Separar a régua em componentes paralela e perpendicular à direção do movimento (eixo
). No referencial onde a régua está em repouso (
), os comprimentos das componentes são simplesmente os comprimentos projetados:
Como
e
, usamos os valores conhecidos
portanto
Passo 4
Explicar como as componentes transformam para o referencial
.
- A componente paralela à velocidade (componente ao longo de
) sofre contração de Lorentz quando medida simultaneamente em . Assim, o comprimento paralelo medido em é
- A componente perpendicular à velocidade não se contrai (medida simultaneamente em
ela permanece igual):
Portanto o comprimento total da régua medido em
é a norma do vetor composto por essas componentes:
Substituindo
e
:
Quanto ao ângulo
medido em
, ele satisfaz
Assim
(Nessa etapa é útil entender a intuição: a projeção ao longo do movimento encolhe, a perpendicular não, então a régua parece “inclinar-se” mais em relação ao eixo
no referencial
.)
Passo 5
Calcular numericamente o comprimento
. Usando os valores já obtidos:
e
. Então
Somando:
Logo
Passo 6
Calcular numericamente o ângulo
. Primeiro a tangente:
Portanto
Passo 7
Resumo físico curto (pra te animar): a régua encurta porque a projeção ao longo da direção do movimento sofre contração de Lorentz; a projeção perpendicular não muda. Isso faz o comprimento total diminuir e o ângulo aumentar (daqui 30° para cerca de 43,6°). Boa! Você já conseguiu entender o esquema e fazer as contas com valores exatos quando possível.