Uma régua de um metro está em repouso no referencial S^{\prime} fazendo um ângulo de 30^{\circ} com o eixo x^{\prime}. Se S^{\prime} está se movendo com \beta=0,8 em relação a S, qual o comprimento da régua em S e que ângulo faz com o eixo dos x ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
Dados:
  • A régua tem comprimento próprio L_0=1\\ \mathrm{m} no referencial S^{\prime} (ou seja, está em repouso em S^{\prime}).
  • A régua forma um ângulo \theta' = 30^\circ com o eixo x'.
  • O referencial S^{\prime} move-se em relação a S com velocidade tal que \beta=0,8 (onde \beta=v/c).
O enunciado pede:
  • O comprimento da régua medido em S.
  • O ângulo que a régua faz com o eixo x no referencial S.

Passo 2

Calcular o fator de Lorentz \gamma. Esse fator aparece sempre que usamos transformações relativísticas entre referenciais que se movem com velocidade v relativa um ao outro. A fórmula é
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}.
Substituindo \beta=0,8:
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0,8^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0,64}}=\frac{1}{\sqrt{0,36}}=\frac{1}{0,6}=\frac{5}{3}\approx1,666\ldots

Passo 3

Separar a régua em componentes paralela e perpendicular à direção do movimento (eixo x'). No referencial onde a régua está em repouso ( S'), os comprimentos das componentes são simplesmente os comprimentos projetados:
L_{x}'=L_{0}\cos\theta',\qquad L_{y}'=L_{0}\sin\theta'.
Como L_{0}=1\\ \mathrm{m} e \theta'=30^\circ, usamos os valores conhecidos
\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin30^\circ=\frac{1}{2},
portanto
L_{x}'=1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad L_{y}'=1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Explicar como as componentes transformam para o referencial S.
  • A componente paralela à velocidade (componente ao longo de x') sofre contração de Lorentz quando medida simultaneamente em S. Assim, o comprimento paralelo medido em S é
L_{x}=\frac{L_{x}'}{\gamma}.
  • A componente perpendicular à velocidade não se contrai (medida simultaneamente em S ela permanece igual):
L_{y}=L_{y}'.
Portanto o comprimento total da régua medido em S é a norma do vetor composto por essas componentes:
L=\sqrt{L_{x}^{2}+L_{y}^{2}} =\sqrt{\left(\frac{L_{x}'}{\gamma}\right)^{2}+(L_{y}')^{2}}.
Substituindo L_{x}'=L_{0}\cos\theta' e L_{y}'=L_{0}\sin\theta':
L=L_{0}\sqrt{\frac{\cos^{2}\theta'}{\gamma^{2}}+\sin^{2}\theta'}.
Quanto ao ângulo \theta medido em S, ele satisfaz
\tan\theta=\frac{L_{y}}{L_{x}}=\frac{L_{y}'}{L_{x}'/\gamma}=\gamma\tan\theta'.
Assim
\theta=\arctan\bigl(\gamma\tan\theta'\bigr).
(Nessa etapa é útil entender a intuição: a projeção ao longo do movimento encolhe, a perpendicular não, então a régua parece “inclinar-se” mais em relação ao eixo x no referencial S.)

Passo 5

Calcular numericamente o comprimento L. Usando os valores já obtidos:
\cos^{2}30^\circ=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4},\qquad \sin^{2}30^\circ=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4},
e \gamma^{2}=\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{25}{9}. Então
\frac{\cos^{2}30^\circ}{\gamma^{2}}=\frac{3/4}{25/9}=\frac{3}{4}\cdot\frac{9}{25}=\frac{27}{100}=0,27,
\sin^{2}30^\circ=\frac{1}{4}=0,25.
Somando:
\frac{\cos^{2}\theta'}{\gamma^{2}}+\sin^{2}\theta' = 0,27+0,25=0,52=\frac{13}{25}.
Logo
L = L_{0}\sqrt{0,52}=\sqrt{\frac{13}{25}}=\frac{\sqrt{13}}{5}\\ \mathrm{m}\approx0,7211\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular numericamente o ângulo \theta. Primeiro a tangente:
\tan\theta'=\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,577350\ldots
\gamma\tan\theta'=\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\approx0,962250\ldots
Portanto
\theta=\arctan\bigl(\gamma\tan\theta'\bigr)=\arctan\!\left(\frac{5}{3\sqrt{3}}\right)\approx43,6^\circ.

Passo 7

Resumo físico curto (pra te animar): a régua encurta porque a projeção ao longo da direção do movimento sofre contração de Lorentz; a projeção perpendicular não muda. Isso faz o comprimento total diminuir e o ângulo aumentar (daqui 30° para cerca de 43,6°). Boa! Você já conseguiu entender o esquema e fazer as contas com valores exatos quando possível.

Resposta

L=\dfrac{\sqrt{13}}{5}\\ \mathrm{m}\approx0,7211\\ \mathrm{m}
\theta=\arctan\!\left(\dfrac{5}{3\sqrt{3}}\right)\approx43{,}6^\circ

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