Mostre que:
a) a solução da E.D.O. do oscilador harmônico simples,
, pode ser escrita na forma
e escreva as constantes
e
em termos de
e
.
a) a solução da E.D.O. do oscilador harmônico simples,
Passo 1
O enunciado nos dá a solução conhecida do oscilador harmônico simples
e pede para mostrar que essa mesma função pode ser escrita na forma
além de expressar as constantes
e
em termos de
e
.
Informações relevantes dadas:
-
é a amplitude (constante real positiva). -
é a fase inicial (constante real). -
é a frequência angular (constante). - Deseja-se uma identidade algébrica que reescreva o cosseno com soma de ângulos como uma combinação linear de
e .
Passo 2
Vamos usar a identidade trigonométrica de soma de ângulos. A identidade é:
Explicando a identidade de forma simples: quando somamos dois ângulos
e
, o cosseno do ângulo resultante se decompõe em produto de cossenos e produto de senos com sinal negativo. Essa é uma fórmula padrão que pode ser obtida a partir das fórmulas de Euler ou geométricamente no círculo trigonométrico; aqui vamos apenas usá-la diretamente.
Passo 3
Aplique a identidade com
e
. Assim,
Multiplicando por
(pois
vezes esse cosseno), obtemos
Passo 4
Compare a expressão obtida com a forma desejada
Para que as duas expressões coincidam para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais. Portanto:
Essas são as expressões pedidas:
é o componente na direção do cosseno e
(note o sinal negativo) é o componente na direção do seno.
Passo 5
Comentário didático e uso prático: a decomposição mostra que qualquer oscilação harmônica simples pode ser vista como soma de um termo cosseno e um termo seno com coeficientes constantes. Se quiser voltar — ou seja, dado
e
encontrar
e
— usa-se
lembrando de tomar a quadrante correta para
(por exemplo com a função
). Isso é útil na prática para ajustar sinais e fases a partir dos coeficientes
e
.