Mostre que:
a) a solução da E.D.O. do oscilador harmônico simples, x(t)=A \cos \left(\omega_{0} t+\varphi\right), pode ser escrita na forma
x(t)=A^{\prime} \cos \left(\omega_{0} t\right)+B^{\prime} \sin \left(\omega_{0} t\right)
e escreva as constantes A^{\prime} e B^{\prime} em termos de A e \varphi.

Passo 1

O enunciado nos dá a solução conhecida do oscilador harmônico simples
x(t)=A\cos\!\left(\omega_{0}t+\varphi\right),
e pede para mostrar que essa mesma função pode ser escrita na forma
x(t)=A^{\prime}\cos\!\left(\omega_{0}t\right)+B^{\prime}\sin\!\left(\omega_{0}t\right),
além de expressar as constantes A^{\prime} e B^{\prime} em termos de A e \varphi.
Informações relevantes dadas:
  • A é a amplitude (constante real positiva).
  • \varphi é a fase inicial (constante real).
  • \omega_{0} é a frequência angular (constante).
  • Deseja-se uma identidade algébrica que reescreva o cosseno com soma de ângulos como uma combinação linear de \cos(\omega_{0}t) e \sin(\omega_{0}t).

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica de soma de ângulos. A identidade é:
\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.
Explicando a identidade de forma simples: quando somamos dois ângulos \alpha e \beta, o cosseno do ângulo resultante se decompõe em produto de cossenos e produto de senos com sinal negativo. Essa é uma fórmula padrão que pode ser obtida a partir das fórmulas de Euler ou geométricamente no círculo trigonométrico; aqui vamos apenas usá-la diretamente.

Passo 3

Aplique a identidade com \alpha=\omega_{0}t e \beta=\varphi. Assim,
\cos\!\left(\omega_{0}t+\varphi\right) = \cos(\omega_{0}t)\cos\varphi-\sin(\omega_{0}t)\sin\varphi.
Multiplicando por A (pois x(t)=A vezes esse cosseno), obtemos
x(t)=A\cos\varphi\;\cos(\omega_{0}t)\;-\;A\sin\varphi\;\sin(\omega_{0}t).

Passo 4

Compare a expressão obtida com a forma desejada
x(t)=A^{\prime}\cos(\omega_{0}t)+B^{\prime}\sin(\omega_{0}t).
Para que as duas expressões coincidam para todo t, os coeficientes de \cos(\omega_{0}t) e \sin(\omega_{0}t) devem ser iguais. Portanto:
A^{\prime}=A\cos\varphi, \qquad B^{\prime}=-A\sin\varphi.
Essas são as expressões pedidas: A^{\prime} é o componente na direção do cosseno e B^{\prime} (note o sinal negativo) é o componente na direção do seno.

Passo 5

Comentário didático e uso prático: a decomposição mostra que qualquer oscilação harmônica simples pode ser vista como soma de um termo cosseno e um termo seno com coeficientes constantes. Se quiser voltar — ou seja, dado A^{\prime} e B^{\prime} encontrar A e \varphi — usa-se
A=\sqrt{A^{\prime 2}+B^{\prime 2}}, \qquad \tan\varphi=\frac{-B^{\prime}}{A^{\prime}},
lembrando de tomar a quadrante correta para \varphi (por exemplo com a função \operatorname{atan2}(-B^{\prime},A^{\prime})). Isso é útil na prática para ajustar sinais e fases a partir dos coeficientes A^{\prime} e B^{\prime}.

Resposta

A^{\prime}=A\cos\varphi
B^{\prime}=-A\sin\varphi

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