Uma régua de 1,5 metros é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no solo e depois liberada. Determine a velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, supondo que a extremidade de apoio não escorrega. (Sugestăo: considere a régua uma barra fina e use a lei de conservação da energia.)
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que ele dá.
- Pede: determinar a velocidade da extremidade livre da régua (a outra extremidade) pouco antes de tocar o solo, supondo que a extremidade de apoio não escorrega (ou seja, a régua gira em torno de uma extremidade fixa).
- Dados fornecidos:
- Comprimento da régua:
. - A régua é considerada uniforme (barra fina e homogênea).
- A régua parte do repouso na posição vertical e é liberada.
- A extremidade de apoio não escorrega — ponto de apoio serve como pivô fixo.
- Comprimento da régua:
- Resultado desejado: velocidade escalar
da extremidade livre imediatamente antes de tocar o solo.
Passo 2
Ideia física e quantidades que vamos usar (sem começar a calcular ainda).
- Quando a régua cai sem escorregar em torno do pivô, a energia potencial gravitacional perdida é convertida em energia cinética de rotação.
- Vamos aplicar a conservação da energia mecânica entre o instante inicial (régua vertical em repouso) e o instante final (régua quase horizontal, pouco antes de tocar o solo).
- Variáveis que usaremos:
-
: massa total da régua (não é dado numericamente; deve cancelar). -
: aceleração da gravidade (usarei ). -
: comprimento da régua, já dado. -
: variação de altura do centro de massa entre posição inicial e final. -
: momento de inércia da régua em relação ao pivô (extremidade fixa). -
: velocidade angular da régua no instante final. -
: velocidade linear da extremidade livre no instante final, relacionada por .
-
Passo 3
Calcular a queda do centro de massa (energia potencial perdida).
- Para uma régua uniforme a posição do centro de massa quando ela está vertical é a meio comprimento a partir do pivô: altura inicial
acima do pivô. - Quando a régua está horizontal e apoiando-se no pivô (ângulo
em relação à vertical), o centro de massa está, praticamente, na altura do pivô (assumindo régua sem espessura): altura final . - Logo, a variação de altura do centro de massa é
- A energia potencial gravitacional perdida é, então,
Passo 4
Escrever a energia cinética rotacional e o momento de inércia da régua.
- A energia cinética associada à rotação em torno do pivô é
onde
é o momento de inércia da régua em relação à extremidade fixa.
- Para uma régua fina e uniformemente distribuída, o momento de inércia em torno de uma extremidade é conhecido (ou pode ser obtido por integração) como
- Além disso, a velocidade linear da extremidade livre está relacionada à velocidade angular por
Passo 5
Aplicar conservação da energia e resolver para
e
.
- Conservação de energia entre início (repouso) e fim (quase horizontal):
- Substituindo
:
- Cancelar
dos dois lados e simplificar:
- Isolando
:
- Portanto
- A velocidade linear da extremidade livre é
Passo 6
Calcular numericamente para
e
.
- Substituindo:
- Interpretação física rápida: essa velocidade é da extremidade; a barra inteira está girando, então a extremidade descreve a maior velocidade linear (por estar mais longe do pivô). Dá pra ter uma noção intuitiva: a energia potencial m g L/2 não é enorme para um objeto leve, mas ao concentrar isso em rotação a ponta atinge uma velocidade da ordem de poucos metros por segundo (aqui ~6,6 m/s).