Uma régua de 1,5 metros é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiada no solo e depois liberada. Determine a velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, supondo que a extremidade de apoio não escorrega. (Sugestăo: considere a régua uma barra fina e use a lei de conservação da energia.)

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que ele dá.
  • Pede: determinar a velocidade da extremidade livre da régua (a outra extremidade) pouco antes de tocar o solo, supondo que a extremidade de apoio não escorrega (ou seja, a régua gira em torno de uma extremidade fixa).
  • Dados fornecidos:
    • Comprimento da régua: L=1{,}5\\ \mathrm{m}.
    • A régua é considerada uniforme (barra fina e homogênea).
    • A régua parte do repouso na posição vertical e é liberada.
    • A extremidade de apoio não escorrega — ponto de apoio serve como pivô fixo.
  • Resultado desejado: velocidade escalar v da extremidade livre imediatamente antes de tocar o solo.

Passo 2

Ideia física e quantidades que vamos usar (sem começar a calcular ainda).
  • Quando a régua cai sem escorregar em torno do pivô, a energia potencial gravitacional perdida é convertida em energia cinética de rotação.
  • Vamos aplicar a conservação da energia mecânica entre o instante inicial (régua vertical em repouso) e o instante final (régua quase horizontal, pouco antes de tocar o solo).
  • Variáveis que usaremos:
    • m: massa total da régua (não é dado numericamente; deve cancelar).
    • g: aceleração da gravidade (usarei g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}).
    • L: comprimento da régua, já dado.
    • \Delta h: variação de altura do centro de massa entre posição inicial e final.
    • I: momento de inércia da régua em relação ao pivô (extremidade fixa).
    • \omega: velocidade angular da régua no instante final.
    • v: velocidade linear da extremidade livre no instante final, relacionada por v=\omega L.

Passo 3

Calcular a queda do centro de massa (energia potencial perdida).
  • Para uma régua uniforme a posição do centro de massa quando ela está vertical é a meio comprimento a partir do pivô: altura inicial h_i=\dfrac{L}{2} acima do pivô.
  • Quando a régua está horizontal e apoiando-se no pivô (ângulo \,90^\circ em relação à vertical), o centro de massa está, praticamente, na altura do pivô (assumindo régua sem espessura): altura final h_f=0.
  • Logo, a variação de altura do centro de massa é
\Delta h = h_i-h_f = \frac{L}{2}.
  • A energia potencial gravitacional perdida é, então,
\Delta U = m g \Delta h = m g \frac{L}{2}.

Passo 4

Escrever a energia cinética rotacional e o momento de inércia da régua.
  • A energia cinética associada à rotação em torno do pivô é
K_{\text{rot}} = \frac{1}{2}\,I\,\omega^{2},
onde I é o momento de inércia da régua em relação à extremidade fixa.
  • Para uma régua fina e uniformemente distribuída, o momento de inércia em torno de uma extremidade é conhecido (ou pode ser obtido por integração) como
I=\frac{1}{3}\,m\,L^{2}.
  • Além disso, a velocidade linear da extremidade livre está relacionada à velocidade angular por
v=\omega\,L.

Passo 5

Aplicar conservação da energia e resolver para \omega e v.
  • Conservação de energia entre início (repouso) e fim (quase horizontal):
m g \frac{L}{2} = \frac{1}{2}\,I\,\omega^{2}.
  • Substituindo I=\dfrac{1}{3}mL^{2}:
m g \frac{L}{2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}mL^{2}\right)\omega^{2}.
  • Cancelar m dos dois lados e simplificar:
g \frac{L}{2} = \frac{1}{6}L^{2}\omega^{2}.
  • Isolando \omega^{2}:
\omega^{2} = \frac{g \dfrac{L}{2}}{\dfrac{1}{6}L^{2}} = \frac{gL/2}{L^{2}/6} = \frac{g}{L}\cdot\frac{1/2}{1/6} = \frac{g}{L}\cdot 3 = \frac{3g}{L}.
  • Portanto
\omega = \sqrt{\frac{3g}{L}}.
  • A velocidade linear da extremidade livre é
v=\omega L = L\sqrt{\frac{3g}{L}} = \sqrt{3gL}.

Passo 6

Calcular numericamente para L=1{,}5\\ \mathrm{m} e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Substituindo:
v=\sqrt{3\cdot 9{,}8 \cdot 1{,}5}=\sqrt{44{,}1}\approx 6{,}64\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação física rápida: essa velocidade é da extremidade; a barra inteira está girando, então a extremidade descreve a maior velocidade linear (por estar mais longe do pivô). Dá pra ter uma noção intuitiva: a energia potencial m g L/2 não é enorme para um objeto leve, mas ao concentrar isso em rotação a ponta atinge uma velocidade da ordem de poucos metros por segundo (aqui ~6,6 m/s).

Resposta

\displaystyle v=\sqrt{3gL}=6{,}64\\ \mathrm{m/s}

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