Responda detalhadamente as questões a seguir.
Um patinador realiza um salto com o intuito de girar em torno do próprio eixo. Ele encolhe os braços, aproximando-os do seu centro de rotação. Ao fazer isso, o patinador passa a girar mais rapidamente. Explique.

Passo 1

O enunciado dá uma situação simples e pede uma explicação física: um patinador em rotação encolhe os braços e, ao fazê-lo, passa a girar mais rápido. As informações relevantes são:
  • O patinador gira em torno de um eixo vertical que passa pelo seu corpo.
  • Ele aproxima os braços do eixo (isto é, muda a distribuição de massa).
  • Observação a explicar: a velocidade angular aumenta quando os braços são encolhidos.
    O que se pede: explicar passo a passo por que a velocidade angular aumenta e de onde vem qualquer variação de energia.

Passo 2

Introduzindo o conceito central: momento angular e sua conservação.
  • O momento angular em torno de um eixo é denotado por \,L\,. Para um corpo rígido em rotação com velocidade angular \omega e momento de inércia \,I\, em relação ao eixo, vale
L = I\,\omega.
Explique o que cada símbolo significa:
  • \,L\, é o momento angular (medida de “quanto de rotação” o sistema tem); é um vetor, mas aqui interessa só o módulo em torno do eixo.
  • \,I\, é o momento de inércia: mede como a massa está distribuída em relação ao eixo. Massas mais longe do eixo aumentam I.
  • \,\omega\, é a velocidade angular (quão rápido gira, em rad/s).
Por que podemos usar conservação de momento angular: se não há torque externo resultante em torno do eixo (o que é verdadeiro para um patinador isolado no gelo, desprezando atrito com o ar e com o gelo), o momento angular total se conserva. Ou seja,
I_1 \,\omega_1 = I_2 \,\omega_2,
onde índices 1 e 2 indicam antes e depois de encolher os braços.

Passo 3

Entendendo o efeito de aproximar os braços: o momento de inércia diminui.
Para ver isso de forma concreta, use uma fórmula simples para pontos de massa: para uma massa m a distância r do eixo, o contribuito ao momento de inércia é
I_{\text{ponto}} = m\,r^2.
Ao aproximar os braços do corpo, as distâncias r das massas do braço ao eixo diminuem, portanto cada termo m r^2 diminui e o total I diminui: I_2 < I_1.
Aplicando a conservação do momento angular,
\omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\,\omega_1.
Como I_2<I_1, o fator \dfrac{I_1}{I_2} é maior que 1, logo \omega_2>\omega_1. Ou seja: quando o patinador reduz o momento de inércia, a velocidade angular aumenta para manter L constante.

Passo 4

Um exemplo numérico simples para fixar a ideia. Suponha que inicialmente I_1=2 (unidades arbitrárias) e \omega_1=1. Então L=2.
Se o patinador depois encolhe os braços de modo que I_2=1, pela conservação
\omega_2=\frac{I_1}{I_2}\omega_1=\frac{2}{1}\cdot 1=2.
A velocidade angular dobrou.
Agora compare as energias rotacionais: a energia cinética de rotação é
K=\tfrac12 I \omega^2.
Calculando antes e depois:
K_1=\tfrac12\cdot 2\cdot 1^2 = 1,\qquad K_2=\tfrac12\cdot 1\cdot 2^2 = 2.
A energia rotacional aumentou de 1 para 2. Isso mostra que, apesar de L ser conservado, a energia pode variar.
Uma forma elegante de ver isso é escrever K em função de L:
K=\tfrac12 I\omega^2=\tfrac12\frac{L^2}{I}.
Com L fixo, K é inversamente proporcional a I: reduzir I aumenta K.

Passo 5

De onde vem o aumento de energia?
O aumento da energia cinética rotacional não viola nenhuma conservação — ele vem do trabalho realizado pelos músculos do patinador ao puxar os braços para dentro. Para aproximar os braços em um corpo em rotação é preciso vencer forças (no referencial rotante aparecem forças aparentes, e as fibras musculares exercem força e deslocamento), e esse trabalho realizado internamente é convertido em energia cinética rotacional adicional. Em termos práticos: os músculos fazem trabalho positivo durante o movimento de recolher os braços; esse trabalho aumenta K enquanto L permanece constante.

Passo 6

Resumo final explicado de forma bem direta e intuitiva:
  • Aproximar os braços reduz o momento de inércia I.
  • Como não há torque externo significativo, o momento angular L=I\omega se conserva.
  • Para manter L constante com I menor, a velocidade angular \omega aumenta.
  • A energia rotacional aumenta porque os músculos fazem trabalho ao recolher os braços; esse trabalho aparece como maior energia cinética de rotação.

Resposta

O patinador gira mais rápido porque, ao encolher os braços, reduz o momento de inércia I; como o momento angular L=I\omega se conserva na ausência de torque externo, a velocidade angular \omega aumenta. O aumento da energia cinética rotacional provém do trabalho realizado pelos músculos ao aproximar os braços.

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