Responda detalhadamente as questões a seguir.
Um patinador realiza um salto com o intuito de girar em torno do próprio eixo. Ele encolhe os braços, aproximando-os do seu centro de rotação. Ao fazer isso, o patinador passa a girar mais rapidamente. Explique.
Um patinador realiza um salto com o intuito de girar em torno do próprio eixo. Ele encolhe os braços, aproximando-os do seu centro de rotação. Ao fazer isso, o patinador passa a girar mais rapidamente. Explique.
Passo 1
O enunciado dá uma situação simples e pede uma explicação física: um patinador em rotação encolhe os braços e, ao fazê-lo, passa a girar mais rápido. As informações relevantes são:
- O patinador gira em torno de um eixo vertical que passa pelo seu corpo.
- Ele aproxima os braços do eixo (isto é, muda a distribuição de massa).
- Observação a explicar: a velocidade angular aumenta quando os braços são encolhidos.
O que se pede: explicar passo a passo por que a velocidade angular aumenta e de onde vem qualquer variação de energia.
Passo 2
Introduzindo o conceito central: momento angular e sua conservação.
- O momento angular em torno de um eixo é denotado por
. Para um corpo rígido em rotação com velocidade angular e momento de inércia em relação ao eixo, vale
Explique o que cada símbolo significa:
-
é o momento angular (medida de “quanto de rotação” o sistema tem); é um vetor, mas aqui interessa só o módulo em torno do eixo. -
é o momento de inércia: mede como a massa está distribuída em relação ao eixo. Massas mais longe do eixo aumentam . -
é a velocidade angular (quão rápido gira, em rad/s).
Por que podemos usar conservação de momento angular: se não há torque externo resultante em torno do eixo (o que é verdadeiro para um patinador isolado no gelo, desprezando atrito com o ar e com o gelo), o momento angular total se conserva. Ou seja,
onde índices
e
indicam antes e depois de encolher os braços.
Passo 3
Entendendo o efeito de aproximar os braços: o momento de inércia diminui.
Para ver isso de forma concreta, use uma fórmula simples para pontos de massa: para uma massa a distância
do eixo, o contribuito ao momento de inércia é
Para ver isso de forma concreta, use uma fórmula simples para pontos de massa: para uma massa
Ao aproximar os braços do corpo, as distâncias
das massas do braço ao eixo diminuem, portanto cada termo
diminui e o total
diminui:
.
Aplicando a conservação do momento angular,
Como
, o fator
é maior que
, logo
. Ou seja: quando o patinador reduz o momento de inércia, a velocidade angular aumenta para manter
constante.
Passo 4
Um exemplo numérico simples para fixar a ideia. Suponha que inicialmente
(unidades arbitrárias) e
. Então
.
Se o patinador depois encolhe os braços de modo que , pela conservação
Se o patinador depois encolhe os braços de modo que
A velocidade angular dobrou.
Agora compare as energias rotacionais: a energia cinética de rotação é
Agora compare as energias rotacionais: a energia cinética de rotação é
Calculando antes e depois:
A energia rotacional aumentou de
para
. Isso mostra que, apesar de
ser conservado, a energia pode variar.
Uma forma elegante de ver isso é escrever
em função de
:
Com
fixo,
é inversamente proporcional a
: reduzir
aumenta
.
Passo 5
De onde vem o aumento de energia?
O aumento da energia cinética rotacional não viola nenhuma conservação — ele vem do trabalho realizado pelos músculos do patinador ao puxar os braços para dentro. Para aproximar os braços em um corpo em rotação é preciso vencer forças (no referencial rotante aparecem forças aparentes, e as fibras musculares exercem força e deslocamento), e esse trabalho realizado internamente é convertido em energia cinética rotacional adicional. Em termos práticos: os músculos fazem trabalho positivo durante o movimento de recolher os braços; esse trabalho aumenta enquanto
permanece constante.
O aumento da energia cinética rotacional não viola nenhuma conservação — ele vem do trabalho realizado pelos músculos do patinador ao puxar os braços para dentro. Para aproximar os braços em um corpo em rotação é preciso vencer forças (no referencial rotante aparecem forças aparentes, e as fibras musculares exercem força e deslocamento), e esse trabalho realizado internamente é convertido em energia cinética rotacional adicional. Em termos práticos: os músculos fazem trabalho positivo durante o movimento de recolher os braços; esse trabalho aumenta
Passo 6
Resumo final explicado de forma bem direta e intuitiva:
- Aproximar os braços reduz o momento de inércia
. - Como não há torque externo significativo, o momento angular
se conserva. - Para manter
constante com menor, a velocidade angular aumenta. - A energia rotacional aumenta porque os músculos fazem trabalho ao recolher os braços; esse trabalho aparece como maior energia cinética de rotação.
Resposta
O patinador gira mais rápido porque, ao encolher os braços, reduz o momento de inércia
; como o momento angular
se conserva na ausência de torque externo, a velocidade angular
aumenta. O aumento da energia cinética rotacional provém do trabalho realizado pelos músculos ao aproximar os braços.