A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por
. onde
está em radianos e
segundos. Qual é a velocidade angular em (a)
e (b)
? (c) Qual é a aceleração angular média no intervalo de tempo que começa em
e termina em
? Qual é a aceleração angular instantảnea (d) no inicio e no fim deste intervalo?
Passo 1
O enunciado nos dá a posição angular da borda de uma roda como função do tempo:
onde
está em radianos e
em segundos. As perguntas são:
(a) Qual é a velocidade angular em ?
(b) Qual é a velocidade angular em ?
(c) Qual é a aceleração angular média no intervalo que vai de até
?
(d) Qual é a aceleração angular instantânea no início ( ) e no fim (
) desse intervalo?
(a) Qual é a velocidade angular em
(b) Qual é a velocidade angular em
(c) Qual é a aceleração angular média no intervalo que vai de
(d) Qual é a aceleração angular instantânea no início (
Informações relevantes dadas:
- A função
é um polinômio de grau 3 em . - Os instantes de interesse são
e . - Para resolver: será preciso calcular derivadas da função
e diferenças de velocidades.
Passo 2
Conceito e fórmula para velocidade angular (didático, passo a passo).
- A velocidade angular instantânea
é a derivada temporal da posição angular . Em símbolos:
- Regra prática para derivar um polinômio: se um termo é
, sua derivada é . Isso vale para cada termo, e derivadas somam termo a termo.
Aplicando essa regra a cada termo de:
Derivando termo a termo:
- A derivada de
(constante) é . - A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto
Passo 3
Calcular a velocidade angular em
.
Substituir em
:
Substituir
Fazendo as operações:
Logo
rad/s.
Passo 4
Calcular a velocidade angular em
.
Substituir em
:
Substituir
Calcule passo a passo:
Somando:
Logo
rad/s.
Passo 5
Conceito e fórmula para aceleração angular (didático).
- A aceleração angular instantânea
é a derivada temporal da velocidade angular , ou a segunda derivada de :
- A aceleração angular média
entre dois instantes e é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
Passo 6
Calcular a expressão de
(derivada de
).
Temos . Derivando termo a termo:
Temos
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto
Passo 7
Calcular a aceleração angular média entre
e
.
Usar a fórmula média com as velocidades já encontradas:
Usar a fórmula média com as velocidades já encontradas:
Calcule:
Portanto a aceleração média no intervalo é
rad/s
.
Passo 8
Calcular a aceleração angular instantânea no início e no fim do intervalo usando
.
- No início (
):
Logo
rad/s
.
- No fim (
):
Logo
rad/s
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)