A posição angular de um ponto da borda de uma roda é dada por \theta=7-2 t+4 t^{2}+3 t^{3}. onde \theta está em radianos e t segundos. Qual é a velocidade angular em (a) t=1,0 \mathrm{~s} e (b) t=5,0 s ? (c) Qual é a aceleração angular média no intervalo de tempo que começa em \mathrm{t}=1,0 \mathrm{~s} e termina em t=5,0 \mathrm{~s} ? Qual é a aceleração angular instantảnea (d) no inicio e no fim deste intervalo?

Passo 1

O enunciado nos dá a posição angular da borda de uma roda como função do tempo:
\theta(t)=7-2t+4t^{2}+3t^{3},
onde \theta está em radianos e t em segundos. As perguntas são:
(a) Qual é a velocidade angular em t=1{,}0\\ \mathrm{s}?
(b) Qual é a velocidade angular em t=5{,}0\\ \mathrm{s}?
(c) Qual é a aceleração angular média no intervalo que vai de t=1{,}0\\ \mathrm{s} até t=5{,}0\\ \mathrm{s}?
(d) Qual é a aceleração angular instantânea no início ( t=1{,}0\\ \mathrm{s}) e no fim ( t=5{,}0\\ \mathrm{s}) desse intervalo?
Informações relevantes dadas:
  • A função \theta(t) é um polinômio de grau 3 em t.
  • Os instantes de interesse são t=1{,}0\\ \mathrm{s} e t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
  • Para resolver: será preciso calcular derivadas da função \theta(t) e diferenças de velocidades.

Passo 2

Conceito e fórmula para velocidade angular (didático, passo a passo).
  • A velocidade angular instantânea \omega(t) é a derivada temporal da posição angular \theta(t). Em símbolos:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
  • Regra prática para derivar um polinômio: se um termo é a t^{n}, sua derivada é a n t^{n-1}. Isso vale para cada termo, e derivadas somam termo a termo.
    Aplicando essa regra a cada termo de \theta(t):
\theta(t)=7-2t+4t^{2}+3t^{3}.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de 7 (constante) é 0.
  • A derivada de -2t é -2.
  • A derivada de 4t^{2} é 4\cdot 2 t^{1}=8t.
  • A derivada de 3t^{3} é 3\cdot 3 t^{2}=9t^{2}.
    Portanto
\omega(t)=-2+8t+9t^{2}.

Passo 3

Calcular a velocidade angular em t=1{,}0\\ \mathrm{s}.
Substituir t=1{,}0 em \omega(t):
\omega(1{,}0)=-2+8(1{,}0)+9(1{,}0)^{2}.
Fazendo as operações:
\omega(1{,}0)=-2+8+9=-2+17=15.
Logo \omega(1{,}0)=15 rad/s.

Passo 4

Calcular a velocidade angular em t=5{,}0\\ \mathrm{s}.
Substituir t=5{,}0 em \omega(t):
\omega(5{,}0)=-2+8(5{,}0)+9(5{,}0)^{2}.
Calcule passo a passo:
8(5{,}0)=40, \qquad (5{,}0)^{2}=25, \qquad 9\cdot25=225.
Somando:
\omega(5{,}0)=-2+40+225=-2+265=263.
Logo \omega(5{,}0)=263 rad/s.

Passo 5

Conceito e fórmula para aceleração angular (didático).
  • A aceleração angular instantânea \alpha(t) é a derivada temporal da velocidade angular \omega(t), ou a segunda derivada de \theta(t):
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d^{2}\theta}{dt^{2}}.
  • A aceleração angular média \bar{\alpha} entre dois instantes t_{1} e t_{2} é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo:
\bar{\alpha}=\frac{\omega(t_{2})-\omega(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.

Passo 6

Calcular a expressão de \alpha(t) (derivada de \omega(t)).
Temos \omega(t)=-2+8t+9t^{2}. Derivando termo a termo:
  • derivada de -2 é 0,
  • derivada de 8t é 8,
  • derivada de 9t^{2} é 18t.
    Portanto
\alpha(t)=8+18t.

Passo 7

Calcular a aceleração angular média entre t_{1}=1{,}0\\ \mathrm{s} e t_{2}=5{,}0\\ \mathrm{s}.
Usar a fórmula média com as velocidades já encontradas:
\bar{\alpha}=\frac{\omega(5{,}0)-\omega(1{,}0)}{5{,}0-1{,}0}=\frac{263-15}{4{,}0}.
Calcule:
263-15=248, \qquad \bar{\alpha}=\frac{248}{4{,}0}=62.
Portanto a aceleração média no intervalo é 62 rad/s ^2.

Passo 8

Calcular a aceleração angular instantânea no início e no fim do intervalo usando \alpha(t)=8+18t.
  • No início ( t=1{,}0\\ \mathrm{s}):
\alpha(1{,}0)=8+18(1{,}0)=8+18=26.
Logo \alpha(1{,}0)=26 rad/s ^2.
  • No fim ( t=5{,}0\\ \mathrm{s}):
\alpha(5{,}0)=8+18(5{,}0)=8+90=98.
Logo \alpha(5{,}0)=98 rad/s ^2.

Resposta

(a) \omega(1{,}0)=15\\ \text{rad/s}
(b) \omega(5{,}0)=263\\ \text{rad/s}
(c) \bar{\alpha}=62\\ \text{rad/s}^{2}
(d) \alpha(1{,}0)=26\\ \text{rad/s}^{2}
\alpha(5{,}0)=98\\ \text{rad/s}^{2}

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