Um rei encomenda uma coroa de ouro com uma massa de 0,500 \mathrm{~kg}. Quando a coroa chega do ourives, verifica-se que o volume da coroa é de 185 \mathrm{~cm}^{3}. A coroa é feita de ouro maciço. Explique. (densidade do ouro: 19,32 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos:
    • Massa da coroa: 0,500\\ \mathrm{kg}.
    • Volume medido da coroa: 185\\ \mathrm{cm}^{3}.
    • Densidade do ouro: \rho_{\text{ouro}} = 19,32\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Pergunta:
    • A coroa é feita de ouro maciço? Explique.

Passo 2

Primeira coisa importante: a definição e fórmula da densidade, que vamos usar o tempo todo.
  • Definição: densidade é a razão entre massa e volume.
  • Fórmula:
\rho=\frac{m}{V}
onde:
  • \rho é a densidade (unidades como \mathrm{g/cm^{3}}),
  • m é a massa (por ex. \mathrm{g} ou \mathrm{kg}),
  • V é o volume (por ex. \mathrm{cm^{3}}).
Cuide das unidades: a densidade do ouro está em \mathrm{g/cm^{3}}, então converto a massa da coroa para gramas:
0,500\\ \mathrm{kg}=500\\ \mathrm{g}
o volume já está em \mathrm{cm^{3}} ( 185\\ \mathrm{cm^{3}}), então agora podemos aplicar fórmulas diretamente em \mathrm{g} e \mathrm{cm^{3}}.

Passo 3

Teste 1 — calcular qual seria o volume da coroa se ela fosse de ouro maciço, usando
V_{\text{ouro}}=\frac{m}{\rho_{\text{ouro}}}.
Substituindo m=500\\ \mathrm{g} e \rho_{\text{ouro}}=19,32\\ \mathrm{g/cm^{3}}:
V_{\text{ouro}}=\frac{500}{19,32}\\ \mathrm{cm^{3}}\approx 25,89\\ \mathrm{cm^{3}}.
Interpretação: se a coroa fosse ouro maciço com massa 0,500\\ \mathrm{kg}, seu volume deveria ser cerca de 25,89\\ \mathrm{cm^{3}}. Mas o volume medido é 185\\ \mathrm{cm^{3}}, muito maior.

Passo 4

Teste 2 — calcular a densidade efetiva da coroa a partir da massa e do volume medidos:
\rho_{\text{coroa}}=\frac{m}{V}=\frac{500}{185}\\ \mathrm{g/cm^{3}}\approx 2,70\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Comparação: \rho_{\text{coroa}}\approx 2,70\\ \mathrm{g/cm^{3}} é muito menor que \rho_{\text{ouro}}=19,32\\ \mathrm{g/cm^{3}}. Isso já indica claramente que a coroa não é de ouro maciço.

Passo 5

Cheque alternativo (mesma conclusão, só por outro ângulo): se a coroa ocupasse 185\\ \mathrm{cm^{3}} e fosse ouro maciço, a massa esperada seria
m_{\text{esperado}}=\rho_{\text{ouro}}\cdot V = 19,32\cdot 185\\ \mathrm{g}=3574,2\\ \mathrm{g}\approx 3,574\\ \mathrm{kg}.
Ou seja, um objeto de ouro com volume 185\\ \mathrm{cm^{3}} deveria pesar cerca de 3,574\\ \mathrm{kg}, muito mais que os 0,500\\ \mathrm{kg} medidos. Mesma incompatibilidade vista antes.

Passo 6

Conclusão e explicação prática (jeito de contar na prova):
  • As contas mostram incompatibilidade entre massa, volume e densidade do ouro.
  • Como a densidade medida da coroa ( \approx2,70\\ \mathrm{g/cm^{3}}) é muito menor que a do ouro, a coroa não é ouro maciço.
  • Interpretação realista: provavelmente a coroa é apenas folheada/banhada em ouro sobre um núcleo de material muito menos denso (por exemplo, alumínio tem densidade \approx2,70\\ \mathrm{g/cm^{3}}), ou contém cavidades/um núcleo de madeira/plástico/metal leve. Em qualquer caso, houve fraude: não é ouro maciço.
Força aí — a técnica usada (comparar massa/volume com a densidade conhecida) é exatamente a maneira clássica de verificar se um objeto é de um metal puro.

Resposta

Não. A coroa não é de ouro maciço; a densidade medida é \rho_{\text{coroa}}\approx2,70\\ \mathrm{g/cm^{3}}, muito menor que \rho_{\text{ouro}}=19,32\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

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