Questão 1 - Uma partícula realiza um movimento harmônico simples, ao longo do eixo x , com frequência angular \omega=8,0 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Quando t=0 \mathrm{~s}, a partícula está \mathrm{em} x=4,0 \mathrm{~cm} com velocidade inicial \vec{v}=-25 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} \hat{\imath}. Determine a posição da partícula em t=5,0 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede a posição da partícula em t=5{,}0\\ \mathrm{s}:
  • Velocidade angular: \omega = 8{,}0\\ \mathrm{rad/s}.
  • Posição inicial (em t=0): x(0)=x_0 = 4{,}0\\ \mathrm{cm}.
  • Velocidade inicial (em t=0): v(0)=v_0 = -25\\ \mathrm{cm/s}.
  • Pedido: determinar x(5{,}0\\ \mathrm{s}).

Passo 2

Vamos lembrar a forma geral do movimento harmônico simples (MHS) ao longo do eixo x. A solução pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (maior deslocamento em relação ao equilíbrio),
  • \omega é a frequência angular (dada),
  • \varphi é a fase inicial.
As condições iniciais em t=0 dão
x(0)=A\cos\varphi = x_0,
v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t+\varphi) \quad\Rightarrow\quad v(0)=-A\omega\sin\varphi = v_0.
Agora usamos uma identidade trigonométrica para eliminar A e \varphi e obter uma forma prática útil em provas:
A\cos(\omega t+\varphi) = A\cos\varphi\cos(\omega t) - A\sin\varphi\sin(\omega t).
Substituindo A\cos\varphi = x_0 e -A\sin\varphi = \dfrac{v_0}{\omega} (obtido de v_0=-A\omega\sin\varphi), obtemos a fórmula direta
x(t)=x_0\cos(\omega t) + \frac{v_0}{\omega}\sin(\omega t).
Explicando de forma simples: essa fórmula já incorpora as condições iniciais e é a mais prática na prova, porque evita resolver A e \varphi separadamente.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os dados fornecidos. Primeiro calculamos \omega t:
\omega t = 8{,}0\\ \mathrm{rad/s}\times 5{,}0\\ \mathrm{s} = 40\\ \mathrm{rad}.
A posição em t=5{,}0\\ \mathrm{s} é
x(5)=x_0\cos(40) + \frac{v_0}{\omega}\sin(40).
Substituindo x_0=4{,}0\\ \mathrm{cm} e \dfrac{v_0}{\omega}=\dfrac{-25}{8{,}0}=-3{,}125\\ \mathrm{cm}, fica
x(5)=4{,}0\cos(40) - 3{,}125\sin(40).
Agora precisamos dos valores numéricos de \cos(40) e \sin(40) (ângulo em radianos). Usando aproximações numéricas:
\cos(40)\approx -0{,}66693806165,\qquad \sin(40)\approx 0{,}74511316048.
Calculando os termos:
4{,}0\cos(40)\approx 4{,}0\times(-0{,}66693806165) \approx -2{,}6677522466\\ \mathrm{cm},
-3{,}125\sin(40)\approx -3{,}125\times 0{,}74511316048 \approx -2{,}3284786265\\ \mathrm{cm}.
Somando,
x(5)\approx -2{,}6677522466 + (-2{,}3284786265) \approx -4{,}9962308731\\ \mathrm{cm}.
Arredondando de forma conveniente (dados com 2–3 algarismos significativos), obtemos aproximadamente -5{,}00\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Comentário físico rápido (ajuda a fixar): a amplitude do movimento pode ser calculada por
A=\sqrt{x_0^{2}+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^{2}}=\sqrt{4{,}0^{2}+(-3{,}125)^{2}}\approx 5{,}08\\ \mathrm{cm},
ou seja, a posição x(5)\approx -5{,}00\\ \mathrm{cm} está próxima da amplitude, mas com sinal negativo (lado oposto ao x_0). Força na prova: memorize a fórmula x(t)=x_0\cos(\omega t)+\dfrac{v_0}{\omega}\sin(\omega t) — ela resolve muitos exercícios rápidos.

Resposta

-5{,}00\\ \mathrm{cm}

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