Questão 3 - Uma partícula de massa m=5 g movimenta-se em um plano horizontal ao longo do eixo x sob a ação de uma força elástica restauradora, \vec{F}_{e}=-k x \hat{\imath}, onde k é a constante da mola, e de uma força viscosa \vec{F}_{v}=-b \frac{d x}{d t} \hat{\imath}, onde b=10 \times 10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m} é o coeficiente de atrito viscoso. Observa-se que a partícula realiza várias oscilações e que sua posição em função de tempo tem dois máximos consecutivos em x_{1}=2,1 \mathrm{~cm} e em x_{2}=1,3 \mathrm{~cm}. Determine o valor da constante da mola \mathrm{k} \mathrm{em} \mathrm{N} / \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula que oscila no eixo x sujeita a uma força elástica e a uma força viscosa. Os dados fornecidos são:
  • massa: m=5\\ \mathrm{g}=0,005\\ \mathrm{kg};
  • coeficiente viscoso: b=10\times10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m}=0,01\\ \mathrm{N\cdot s/m};
  • dois máximos consecutivos (amplitudes) da oscilação: x_1=2,1\\ \mathrm{cm}=0,021\\ \mathrm{m} e x_2=1,3\\ \mathrm{cm}=0,013\\ \mathrm{m}.
O que se pede: determinar a constante da mola k em \mathrm{N/m}.

Passo 2

Modelo físico e definições importantes (explicação didática).
A equação do movimento para uma oscilação amortecida linear (força elástica e atrito viscoso) é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
Aqui:
  • x(t) é a posição;
  • \dot{x} e \ddot{x} são, respectivamente, a velocidade e a aceleração;
  • m é a massa;
  • b é o coeficiente de atrito viscoso;
  • k é a constante da mola que queremos achar.
Definimos as quantidades usuais:
\beta=\frac{b}{2m}\quad\text{(taxa de amortecimento)}
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad\text{(frequência natural não amortecida)}êã
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\quad\text{(frequência angular do movimento amortecido, no caso subamortecido)}.ê
Quando o sistema está subamortecido ( \beta<\omega_0), a solução tem a forma
x(t)=A\,e^{-\beta t}\cos(\omega_d t+\varphi),
ou seja, a amplitude das oscilações é modulada por um envelope exponencial A e^{-\beta t}.

Passo 3

Relação entre amplitudes consecutivas e o parâmetro \beta (logarithmic decrement).
Os máximos consecutivos ocorrem a intervalos de tempo iguais ao período do movimento amortecido T_d, com
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}.
Como o envelope decai exponencialmente, a razão entre amplitudes consecutivas é
\frac{x_1}{x_2}=e^{\beta T_d}.
Tomando logaritmo natural:
\ln\!\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=\beta T_d=\beta\cdot\frac{2\pi}{\omega_d}.
Dessa igualdade podemos isolar \omega_d:
\omega_d=\frac{2\pi\beta}{\ln\!\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)}.

Passo 4

Expressão final para k em termos de quantidades conhecidas.
Sabendo \omega_d e \beta podemos voltar à relação \omega_0^2=\omega_d^2+\beta^2 e, como \omega_0^2=k/m, obter
k=m\left(\omega_d^2+\beta^2\right).
Substituindo \omega_d da equação anterior:
\omega_d=\frac{2\pi\beta}{\ln\!\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)}\quad\Rightarrow\quad k=m\!\left(\left(\frac{2\pi\beta}{\ln\!\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)}\right)^{\!2}+\beta^{2}\right).
Esse é o procedimento algébrico que permite calcular k a partir das amplitudes medidas e dos parâmetros m e b.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo.
  1. Calcular \beta:
\beta=\frac{b}{2m}=\frac{0,01}{2\cdot0,005}=1{,}0\\ \mathrm{s^{-1}}.
  1. Calcular a razão das amplitudes e seu logaritmo:
\frac{x_1}{x_2}=\frac{0,021}{0,013}=\frac{21}{13}\approx1{,}6153846,
\ln\!\left(\frac{x_1}{x_2}\right)=\ln\!\left(\frac{21}{13}\right)\approx0{,}479573.
  1. Calcular \omega_d:
\omega_d=\frac{2\pi\beta}{\ln\!\left(\dfrac{x_1}{x_2}\right)}=\frac{2\pi\cdot1{,}0}{0{,}479573}\approx\frac{6{,}283185}{0{,}479573}\approx13{,}11\\ \mathrm{s^{-1}}.
  1. Calcular k:
k=m\!\left(\omega_d^2+\beta^2\right)=0{,}005\!\left((13{,}11)^{2}+1^{2}\right).
Calculemos as parcelas:
(13{,}11)^{2}\approx171{,}78,\qquad 171{,}78+1=172{,}78,
k\approx0{,}005\cdot172{,}78\approx0{,}8639\\ \mathrm{N/m}.
Arredondando com coerência aos algarismos significativos dos dados ( x_1 e x_2 com duas casas significativas), podemos escrever k\approx0{,}86\\ \mathrm{N/m}.

Resposta

k\approx0{,}86\\ \mathrm{N/m}

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