Questão 3 - Uma partícula de massa m=5 g movimenta-se em um plano horizontal ao longo do eixo x sob a ação de uma força elástica restauradora, \vec{F}_{e}=-k x \hat{\imath}, onde k é a constante da mola, e de uma força viscosa \vec{F}_{v}=-b \frac{d x}{d t} \hat{\imath}, onde b=10 \times 10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m} é o coeficiente de atrito viscoso. Observa-se que a partícula realiza várias oscilações e que sua posição em função de tempo tem dois máximos consecutivos em x_{1}=2,1 \mathrm{~cm} e em x_{2}=1,3 \mathrm{~cm}. Determine o valor da constante da mola \mathrm{k} \mathrm{em} \mathrm{N} / \mathrm{m}.
Passo 1
O enunciado dá uma partícula que oscila no eixo x sujeita a uma força elástica e a uma força viscosa. Os dados fornecidos são:
dois máximos consecutivos (amplitudes) da oscilação: x_1=2,1\\ \mathrm{cm}=0,021\\ \mathrm{m} e x_2=1,3\\ \mathrm{cm}=0,013\\ \mathrm{m}.
O que se pede: determinar a constante da mola k em \mathrm{N/m}.
Passo 2
Modelo físico e definições importantes (explicação didática).
A equação do movimento para uma oscilação amortecida linear (força elástica e atrito viscoso) é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
Aqui:
x(t) é a posição;
\dot{x} e \ddot{x} são, respectivamente, a velocidade e a aceleração;
m é a massa;
b é o coeficiente de atrito viscoso;
k é a constante da mola que queremos achar.
Definimos as quantidades usuais:
\beta=\frac{b}{2m}\quad\text{(taxa de amortecimento)}
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad\text{(frequência natural não amortecida)}
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}\quad\text{(frequência angular do movimento amortecido, no caso subamortecido)}.
Quando o sistema está subamortecido (\beta<\omega_0), a solução tem a forma
x(t)=A\,e^{-\beta t}\cos(\omega_d t+\varphi),
ou seja, a amplitude das oscilações é modulada por um envelope exponencial A e^{-\beta t}.
Passo 3
Relação entre amplitudes consecutivas e o parâmetro \beta (logarithmic decrement).
Os máximos consecutivos ocorrem a intervalos de tempo iguais ao período do movimento amortecido T_d, com
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}.
Como o envelope decai exponencialmente, a razão entre amplitudes consecutivas é
Expressão final para k em termos de quantidades conhecidas.
Sabendo \omega_d e \beta podemos voltar à relação \omega_0^2=\omega_d^2+\beta^2 e, como \omega_0^2=k/m, obter
Arredondando com coerência aos algarismos significativos dos dados (x_1 e x_2 com duas casas significativas), podemos escrever k\approx0{,}86\\ \mathrm{N/m}.