Rejeitos radiativos ( \mathrm{k}=12 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) são armazenados em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável ( \mathrm{k}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) de 0,8 \mathrm{~m} de diâmetro externo, 2 m de comprimento e 4 cm de parede. A taxa de geração volumétrica dos rejeitos é uniforme e igual a 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3} . \mathrm{Na} sequência é colocado um revestimento de 50 cm de uma manta isolante ( \mathrm{k}=0,3 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ). A superfície externa do isolante está exposta a um escoamento de ar no qual \mathrm{h}=35 \mathrm{W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right) e T \infty=20^{\circ} C. Determine a temperatura no centro do reator.

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (resumi tudo em números para não nos perder):
  • Raio externo do recipiente de aço inoxidável: R_2 = 0{,}4\\ \mathrm{m} (pois o diâmetro externo é 0{,}8\\ \mathrm{m}).
  • Espessura da parede de aço: 0{,}04\\ \mathrm{m}. Logo o raio interno (zona dos rejeitos) é R_1 = R_2 - 0{,}04 = 0{,}36\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do cilindro: L=2\\ \mathrm{m} (usaremos formulação por unidade de comprimento, portanto L só serve para referência).
  • Condutividade térmica dos rejeitos: k_{\text{rej}} = 12\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Condutividade do aço inox: k_{\text{aço}} = 20\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç.
  • Revestimento isolante com espessura 0{,}5\\ \mathrm{m}. Então o raio externo do isolante é R_3 = R_2 + 0{,}5 = 0{,}9\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade do isolante: k_{\text{iso}} = 0{,}3\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Taxa volumétrica de geração uniforme nos rejeitos: q''' = 10^{4}\\ \mathrm{W/m^{3}}.
  • Convecção do ar na superfície externa do isolante: coeficiente h = 35\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)} e temperatura ambiente T_\infty = 20^\circ\mathrm{C}.
  • Pedido: determinar a temperatura no centro do reator (ou seja, T(0) ou T_0) no regime estacionário.

Passo 2

Modelagem física e equação a usar (passo a passo e didático).
  • Como é um cilindro longo e as propriedades são radiais, usamos condução radial 1D em regime estacionário com simetria axial e angular.
  • Dentro da região dos rejeitos ( 0\le r\le R_1) existe geração volumétrica uniforme q'''. A equação de condução em coordenadas cilíndricas, para regime estacionário e simetria angular/axial, é \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \frac{q'''}{k} = 0.Aqui T(r) é a temperatura, r é a coordenada radial e k é a condutividade do material considerado.
  • Vamos resolver essa equação para a região com geração (rejeitos) e usar as condições físicas no centro e na superfície interna r=R_1 para obter T_0.

Passo 3

Resolução da equação com geração na região dos rejeitos (detalhando integrações).
  • Para 0\le r\le R_1 tomamos k=k_{\text{rej}}. A equação é \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) + \frac{q'''}{k_{\text{rej}}} = 0.
  • Multiplicando por r e integrando uma vez: \frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right) = -\frac{q'''}{k_{\text{rej}}} r \quad\Rightarrow\quad r\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{2k_{\text{rej}}} r^{2} + C_1.
  • Dividindo por r (para r>0) e integrando de novo: \frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{2k_{\text{rej}}} r + \frac{C_1}{r} \quad\Rightarrow\quad T(r) = -\frac{q'''}{4k_{\text{rej}}} r^{2} + C_1 \ln r + C_2.
  • Condição física no centro: T(r) deve ser finita em r=0. O termo C_1\ln r diverge quando r\to 0 salvo se C_1=0. Portanto C_1=0.
  • Logo a solução dentro dos rejeitos é T(r) = T_0 - \frac{q'''}{4k_{\text{rej}}}\, r^{2},onde T_0 é a temperatura central T(0).
  • Em particular, a diferença entre o centro e a superfície interna r=R_1 é T_0 - T(R_1) = \frac{q'''}{4k_{\text{rej}}}\, R_1^{2}.Esta é uma fórmula muito útil: ela dá a queda de temperatura do centro até a borda da região geradora.

Passo 4

Como prosseguir fora da região geradora (aço e isolante) — uso do circuito térmico radial.
  • Fora de r>R_1 não há geração, a solução geral é T(r)=A\ln r + B. Em vez de integrar explicitamente e acoplar condições, é mais prático usar o método de resistências térmicas por unidade de comprimento (isso é equivalente à solução analítica).
  • Calcule primeiro a potência gerada por unidade de comprimento (por metro de comprimento do cilindro): Q' = q''' \cdot \text{área da seção dos rejeitos} = q''' \cdot \pi R_1^{2}.áçãEssa Q' (em W/m) é a potência que sai radialmente por qualquer r\ge R_1.
  • As resistências por unidade de comprimento são:
    • Condução em uma casca cilíndrica entre r=a e r=b: R'_{\text{cond}}(a\to b) = \frac{\ln(b/a)}{2\pi k}.Aqui k é a condutividade da casca.
    • Convecção na superfície externa r=R_3: R'_{\text{conv}} = \frac{1}{2\pi R_3 h}.
  • Então a queda de temperatura total da superfície interna T(R_1) até o ambiente T_\infty é T(R_1) - T_\infty = Q'\Big[ R'_{\text{cond}}(R_1\to R_2;\,k_{\text{aço}}) + R'_{\text{cond}}(R_2\to R_3;\,k_{\text{iso}}) + R'_{\text{conv}}\Big].ç
  • Juntando com o resultado do Passo 3, a temperatura central é T_0 = T_\infty + \underbrace{\frac{q'''\,R_1^{2}}{4k_{\text{rej}}}}_{\text{centro}\to R_1} + Q'\bigg[\frac{\ln(R_2/R_1)}{2\pi k_{\text{aço}}} + \frac{\ln(R_3/R_2)}{2\pi k_{\text{iso}}} + \frac{1}{2\pi R_3 h}\bigg].çTudo neste último parêntese são resistências por unidade de comprimento.

Passo 5

Cálculo numérico passo a passo (mostrando todas as contas).
  • Primeiro, valores geométricos e propriedades (recapitulando em forma numérica): R_1=0{,}36\\ \mathrm{m},\quad R_2=0{,}4\\ \mathrm{m},\quad R_3=0{,}9\\ \mathrm{m}.
q'''=10^{4}\\ \mathrm{W/m^{3}},\quad k_{\text{rej}}=12,\quad k_{\text{aço}}=20,\quad k_{\text{iso}}=0{,}3,ç
h=35\\ \mathrm{W/(m^{2}\cdot K)},\quad T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Potência por unidade de comprimento: Q' = q'''\,\pi R_1^{2} = 10^{4}\cdot\pi\cdot(0{,}36)^{2}.Calculemos: R_1^{2}=0{,}1296,\qquad Q' = 10^{4}\cdot\pi\cdot 0{,}1296 \approx 4071{,}504\\ \mathrm{W/m}.
  • Queda do centro até R_1: T_0 - T(R_1) = \frac{q''' R_1^{2}}{4 k_{\text{rej}}} = \frac{10^{4}\cdot 0{,}1296}{4\cdot 12} = \frac{1296}{48} = 27\\ \mathrm{K}.
  • Resistência do aço (por unidade de comprimento): R'_{\text{aço}} = \frac{\ln(R_2/R_1)}{2\pi k_{\text{aço}}} = \frac{\ln(0{,}4/0{,}36)}{2\pi\cdot 20} = \frac{0{,}1053605}{125{,}6637}\approx 8{,}38706\times10^{-4}\\ \mathrm{K/(W/m)}.ççQueda de temperatura no aço: \Delta T_{\text{aço}} = Q'\,R'_{\text{aço}} \approx 4071{,}504\cdot 8{,}38706\times10^{-4} \approx 3{,}415\\ \mathrm{K}.çç
  • Resistência do isolante (por unidade de comprimento): R'_{\text{iso}} = \frac{\ln(R_3/R_2)}{2\pi k_{\text{iso}}} = \frac{\ln(0{,}9/0{,}4)}{2\pi\cdot 0{,}3} = \frac{0{,}8109302}{1{,}8849556}\approx 0{,}4302317\\ \mathrm{K/(W/m)}.Queda de temperatura no isolante: \Delta T_{\text{iso}} = Q'\,R'_{\text{iso}} \approx 4071{,}504\cdot 0{,}4302317 \approx 1753{,}02\\ \mathrm{K}.
  • Resistência por convecção na superfície externa: R'_{\text{conv}}=\frac{1}{2\pi R_3 h} = \frac{1}{2\pi\cdot 0{,}9\cdot 35} \approx 0{,}005051964\\ \mathrm{K/(W/m)}.Queda de temperatura por convecção: \Delta T_{\text{conv}} = Q' R'_{\text{conv}} \approx 4071{,}504\cdot 0{,}005051964 \approx 20{,}579\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Somando as quedas e obtendo a temperatura central.
  • Soma das quedas (centro \to R_1, aço, isolante, convecção): \Delta T_{\text{total}} = 27 + 3{,}415 + 1753{,}02 + 20{,}579 \approx 1804{,}015\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura central: T_0 = T_\infty + \Delta T_{\text{total}} = 20 + 1804{,}015 \approx 1824{,}015^\circ\mathrm{C}.
  • Arredondando de forma razoável (duas casas significativas após a vírgula não fazem sentido diante de incertezas nos dados), podemos reportar: T_0 \approx 1824{,}0^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Interpretação curta e comentário amigo:
  • O valor é muito alto; isso vem principalmente da grande resistência térmica do isolante (condutividade baixa k_{\text{iso}}=0{,}3 e espessura grande), que faz com que muito calor fique retido e a temperatura suba muito no núcleo. Em exame, vale comentar isso: verificar se o isolante realmente tem estas propriedades ou se há erro de unidade/ordem de grandeza nos dados (mas aqui assumimos os dados como corretos).
  • Força: lembra que a fórmula do passo 3 (queda quadrática q'''R^{2}/(4k)) é útil e rápida; o método de resistências é prático para cascas cilíndricas compostas (e economiza integrar várias vezes).

Resposta

T_{0}\approx 1824{,}0^\circ\mathrm{C}

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