Rejeitos radiativos (
) são armazenados em um recipiente cilíndrico de aço inoxidável (
) de
de diâmetro externo, 2 m de comprimento e 4 cm de parede. A taxa de geração volumétrica dos rejeitos é uniforme e igual a
sequência é colocado um revestimento de 50 cm de uma manta isolante (
). A superfície externa do isolante está exposta a um escoamento de ar no qual
e
. Determine a temperatura no centro do reator.
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (resumi tudo em números para não nos perder):
- Raio externo do recipiente de aço inoxidável:
(pois o diâmetro externo é ). - Espessura da parede de aço:
. Logo o raio interno (zona dos rejeitos) é - Comprimento do cilindro:
(usaremos formulação por unidade de comprimento, portanto só serve para referência). - Condutividade térmica dos rejeitos:
. - Condutividade do aço inox:
. - Revestimento isolante com espessura
. Então o raio externo do isolante é - Condutividade do isolante:
. - Taxa volumétrica de geração uniforme nos rejeitos:
. - Convecção do ar na superfície externa do isolante: coeficiente
e temperatura ambiente . - Pedido: determinar a temperatura no centro do reator (ou seja,
ou ) no regime estacionário.
Passo 2
Modelagem física e equação a usar (passo a passo e didático).
- Como é um cilindro longo e as propriedades são radiais, usamos condução radial 1D em regime estacionário com simetria axial e angular.
- Dentro da região dos rejeitos (
) existe geração volumétrica uniforme . A equação de condução em coordenadas cilíndricas, para regime estacionário e simetria angular/axial, é Aqui é a temperatura, é a coordenada radial e é a condutividade do material considerado. - Vamos resolver essa equação para a região com geração (rejeitos) e usar as condições físicas no centro e na superfície interna
para obter .
Passo 3
Resolução da equação com geração na região dos rejeitos (detalhando integrações).
- Para
tomamos . A equação é - Multiplicando por
e integrando uma vez: - Dividindo por
(para ) e integrando de novo: - Condição física no centro:
deve ser finita em . O termo diverge quando salvo se . Portanto . - Logo a solução dentro dos rejeitos é
onde é a temperatura central . - Em particular, a diferença entre o centro e a superfície interna
é Esta é uma fórmula muito útil: ela dá a queda de temperatura do centro até a borda da região geradora.
Passo 4
Como prosseguir fora da região geradora (aço e isolante) — uso do circuito térmico radial.
- Fora de
não há geração, a solução geral é . Em vez de integrar explicitamente e acoplar condições, é mais prático usar o método de resistências térmicas por unidade de comprimento (isso é equivalente à solução analítica). - Calcule primeiro a potência gerada por unidade de comprimento (por metro de comprimento do cilindro):
Essa (em W/m) é a potência que sai radialmente por qualquer . - As resistências por unidade de comprimento são:
- Condução em uma casca cilíndrica entre
e : Aqui é a condutividade da casca. - Convecção na superfície externa
:
- Condução em uma casca cilíndrica entre
- Então a queda de temperatura total da superfície interna
até o ambiente é - Juntando com o resultado do Passo 3, a temperatura central é
Tudo neste último parêntese são resistências por unidade de comprimento.
Passo 5
Cálculo numérico passo a passo (mostrando todas as contas).
- Primeiro, valores geométricos e propriedades (recapitulando em forma numérica):
- Potência por unidade de comprimento:
Calculemos: - Queda do centro até
: - Resistência do aço (por unidade de comprimento):
Queda de temperatura no aço:ç ç ç ç - Resistência do isolante (por unidade de comprimento):
Queda de temperatura no isolante: - Resistência por convecção na superfície externa:
Queda de temperatura por convecção:
Passo 6
Somando as quedas e obtendo a temperatura central.
- Soma das quedas (centro
, aço, isolante, convecção): - Temperatura central:
- Arredondando de forma razoável (duas casas significativas após a vírgula não fazem sentido diante de incertezas nos dados), podemos reportar:
Passo 7
Interpretação curta e comentário amigo:
- O valor é muito alto; isso vem principalmente da grande resistência térmica do isolante (condutividade baixa
e espessura grande), que faz com que muito calor fique retido e a temperatura suba muito no núcleo. Em exame, vale comentar isso: verificar se o isolante realmente tem estas propriedades ou se há erro de unidade/ordem de grandeza nos dados (mas aqui assumimos os dados como corretos). - Força: lembra que a fórmula do passo 3 (queda quadrática
) é útil e rápida; o método de resistências é prático para cascas cilíndricas compostas (e economiza integrar várias vezes).