1{ }^{\text {a }} QUESTÃO (VALOR: 3,0 PONTOS)

Considere um reator esférico com diâmetro interno igual a 1,8 \mathrm{~m}. As paredes do reator são constituídas por uma camada de 200 mm de tijolos refratários ( \mathrm{k}=1,5 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), por uma camada de 250 mm de tijolos isolantes ( \mathrm{k}=0,3 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) e por uma camada de 20 mm de aço (\mathrm{k}=65 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} e \varepsilon=0,4). Em condições de operação típica a temperatura da face interna do reator, é igual a 1000^{\circ} \mathrm{C} e a temperatura da superfície externa da chapa de aço é igual a 40^{\circ} \mathrm{C}. Determine o coeficiente convectivo de calor entre o reator e o meio ambiente, que está a 20^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados geométricos e materiais (peguei todos estes números do enunciado):
    • Diâmetro interno do reator: 1{,}8\\ \mathrm{m}. Logo o raio interno é r_0=0{,}9\\ \mathrm{m}.
    • Camada 1 (tijolo refratário): espessura 0{,}200\\ \mathrm{m}, condutividade k_1=1{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
    • Camada 2 (tijolo isolante): espessura 0{,}250\\ \mathrm{m}, condutividade k_2=0{,}3\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}.
    • Camada 3 (chapa de aço): espessura 0{,}020\\ \mathrm{m}, condutividade k_3=65\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}, emissividade \varepsilon=0{,}4.
    • Temperaturas: face interna do reator T_i=1000{^\circ}\mathrm{C}, temperatura da superfície externa da chapa de aço T_s=40{^\circ}\mathrm{C}, temperatura do ambiente T_\infty=20{^\circ}\mathrm{C}.
  • Objetivo do problema:
    • Determinar o coeficiente convectivo de calor h entre a superfície externa do reator (chapa de aço a 40{^\circ}\mathrm{C}) e o meio ambiente a 20{^\circ}\mathrm{C}.
  • Observações úteis antes de resolver: o fluxo de calor que sai do interior atravessa as três camadas por condução radial esférica até a superfície externa; na superfície externa o calor é perdido por convecção e por radiação. Vou calcular o fluxo total saindo do interior (pela condução) e igualá-lo à soma das perdas convectiva e radiativa na superfície, resolvendo para h.

Passo 2

Determinar os raios das superfícies concêntricas (a partir do raio interno e das espessuras):
  • raio interno (superfície interna): r_0=0{,}9\\ \mathrm{m}.
  • após a camada 1: r_1=r_0+0{,}200=1{,}10\\ \mathrm{m}.
  • após a camada 2: r_2=r_1+0{,}250=1{,}35\\ \mathrm{m}.
  • após a camada 3 (superfície externa): r_3=r_2+0{,}020=1{,}37\\ \mathrm{m}.
Para condução radial em cascas esféricas a resistência térmica de uma casca entre raios r_a e r_b é:
R_{\text{casca}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right),
onde k é a condutividade térmica do material, r_a é o raio da face interna da casca e r_b o raio da face externa. Vou aplicar essa fórmula a cada camada.

Passo 3

Calcular as resistências de cada camada (faço as contas passo a passo).
Camada 1 (refratário), k_1=1{,}5\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}, r_a=r_0, r_b=r_1:
R_1=\frac{1}{4\pi k_1}\!\left(\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}\right) =\frac{1}{4\pi\cdot1{,}5}\!\left(\frac{1}{0{,}9}-\frac{1}{1{,}10}\right).
Cálculo numérico:
\frac{1}{0{,}9}=1{,}111111\dots,\quad \frac{1}{1{,}10}=0{,}9090909\dots,
\frac{1}{r_0}-\frac{1}{r_1}=0{,}2020202\dots
R_1=\dfrac{0{,}2020202}{4\pi\cdot1{,}5}\approx 0{,}0107227\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
Camada 2 (isolante), k_2=0{,}3\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}, r_a=r_1, r_b=r_2:
R_2=\frac{1}{4\pi k_2}\!\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right) =\frac{1}{4\pi\cdot0{,}3}\!\left(\frac{1}{1{,}10}-\frac{1}{1{,}35}\right).
Cálculo numérico:
\frac{1}{1{,}10}=0{,}9090909,\quad \frac{1}{1{,}35}=0{,}7407407,
\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}=0{,}16835017,
R_2=\dfrac{0{,}16835017}{4\pi\cdot0{,}3}\approx 0{,}0446463\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
Camada 3 (aço), k_3=65\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}}, r_a=r_2, r_b=r_3:
R_3=\frac{1}{4\pi k_3}\!\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\right) =\frac{1}{4\pi\cdot65}\!\left(\frac{1}{1{,}35}-\frac{1}{1{,}37}\right).
Cálculo numérico:
\frac{1}{1{,}35}=0{,}74074074,\quad \frac{1}{1{,}37}=0{,}72992701,
\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}=0{,}01081373,
R_3=\dfrac{0{,}01081373}{4\pi\cdot65}\approx 0{,}00001324\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.

Passo 4

Somar as resistências de condução e obter o fluxo térmico total saindo do interior (pela lei de Ohm térmica).
R_{\text{cond}}=R_1+R_2+R_3\approx 0{,}0107227+0{,}0446463+0{,}00001324\approx 0{,}0553822\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
A diferença de temperatura entre face interna e superfície externa é
\Delta T = T_i - T_s = 1000-40=960\\ \mathrm{K}.
Logo a potência total transferida é
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{cond}}}=\frac{960}{0{,}0553822}\approx 1{,}7333\times10^{4}\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Calcular a densidade de fluxo na superfície externa (fluxo por unidade de área). Área externa (esfera de raio r_3=1{,}37\\ \mathrm{m}):
A=4\pi r_3^2=4\pi(1{,}37)^2\approx 23{,}5789\\ \mathrm{m^2}.
Portanto o fluxo por área é
\dot{q}''=\frac{\dot{Q}}{A}\approx\frac{1{,}7333\times10^{4}}{23{,}5789}\approx 735{,}12\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 6

Na superfície externa a perda de calor por área é soma da convecção (desconhecida h) e da radiação (conhecida por \varepsilon e a lei de Stefan–Boltzmann). A equação de balanço por unidade de área é:
\dot{q}''=h\,(T_s-T_\infty)+\varepsilon\,\sigma\,(T_s^4-T_\infty^4),
onde:
  • h é o coeficiente convectivo pedido (em \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}),
  • \varepsilon é a emissividade da superfície ( 0{,}4),
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann: \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}},
  • para a radiação as temperaturas devem estar em Kelvin. Vou calcular a parte radiativa e, em seguida, isolar h.

Passo 7

Calcular a contribuição radiativa por unidade de área. Converter temperaturas para Kelvin:
T_s=40{^\circ}\mathrm{C}=313{,}15\\ \mathrm{K},\qquad T_\infty=20{^\circ}\mathrm{C}=293{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular T_s^4-T_\infty^4. Uma forma prática é usar
T_s^4-T_\infty^4=(T_s^2-T_\infty^2)(T_s^2+T_\infty^2).
Cálculo:
T_s^2=313{,}15^2\approx98\,062{,}9225,\quad T_\infty^2=293{,}15^2\approx85\,936{,}9225,
T_s^2-T_\infty^2\approx12\,126{,}0000,\quad T_s^2+T_\infty^2\approx183\,999{,}8450,
T_s^4-T_\infty^4\approx12\,126{,}0000\times183\,999{,}8450\approx2{,}231{,}182{,}12\times10^{9}\\ \mathrm{K^4}.
Agora a radiação por área:
\dot{q}''_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,(T_s^4-T_\infty^4) =0{,}4\times5{,}670374419\times10^{-8}\times2{,}231{,}182{,}12\times10^{9}.
Cálculo numérico:
\varepsilon\sigma\approx2{,}268149768\times10^{-8},\qquad \dot{q}''_{\text{rad}}\approx2{,}268149768\times10^{-8}\times2{,}231{,}182{,}12\times10^{9}\approx50{,}59\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 8

Isolar h a partir do balanço:
h=\frac{\dot{q}''-\dot{q}''_{\text{rad}}}{T_s-T_\infty}.
Substituindo os valores numéricos:
\dot{q}''\approx735{,}12\\ \mathrm{W\,m^{-2}},\qquad \dot{q}''_{\text{rad}}\approx50{,}59\\ \mathrm{W\,m^{-2}},
T_s-T_\infty=40-20=20\\ \mathrm{K},
h\approx\frac{735{,}12-50{,}59}{20}=\frac{684{,}53}{20}\approx34{,}2265\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}.

Resposta

h\approx34{,}2\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-1}}

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