Aletas longitudinais são utilizadas para promover o resfriamento de um motor. Elas são colocadas ao redor de um cilindro de diâmetro externo igual a 0,5 \mathrm{~m} e comprimento igual a 2 m que envolve o motor. As aletas são fabricadas em liga de alumínio ( \mathrm{k}=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ) possuem 2 cm de espessura, 4 cm de comprimento e há 5 mm de espaçamento entre elas. O ambiente a que está exposto o sistema está a 20^{\circ} \mathrm{C} e possui coeficiente convectivo de calor igual 35 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}. Considerando que a temperatura na parede externa do cilindro é de 200^{\circ} \mathrm{C}, determine a taxa total de transferência de calor entre o sistema aletado e o ar e o aumento percentual em comparação ao sistema não aletado.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro externo do cilindro: \,D=0,5\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do cilindro: \,L=2\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica da liga de alumínio: \,k=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
  • Espessura da aleta: \,t=0,02\\ \mathrm{m} (2 cm).
  • Comprimento radial da aleta (altura da aleta, do corpo do cilindro até a ponta): \,L_f=0,04\\ \mathrm{m} (4 cm).
  • Espaçamento entre aletas (distância livre na circunferência entre duas aletas consecutivas): \,s=0,005\\ \mathrm{m} (5 mm).
  • Temperatura do ambiente: \,T_\infty=20^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente convectivo: \,h=35\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Temperatura da parede externa do cilindro (temperatura na raiz da aleta): \,T_b=200^\circ\mathrm{C}.
O enunciado pede:
  1. Determinar a taxa total de transferência de calor entre o sistema aletado e o ar (isto é, Q_{\text{total}} em W).
  2. Determinar o aumento percentual de transferência de calor em comparação ao sistema não aletado (isto é, comparar Q_{\text{total}} com a transferência sem aletas).
Observações úteis que usarei depois:
  • Perímetro do cilindro: \pi D.
  • Área lateral do cilindro sem aletas: A_{\text{cil}}=\pi D L.
  • Temperatura diferencial usada: \Delta T = T_b - T_\infty = 200-20 = 180\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Planejamento do método (o que vou calcular e por quê — explicado passo a passo):
  • A abordagem é modelo clássico de aletas retangulares finas fixadas longitudinalmente num cilindro. Cada aleta será tratada como uma aleta retangular de espessura uniforme (uma “placa” que perde calor pelas duas faces e pela ponta).
  • Vou calcular:
    1. o número de aletas N que cabem na circunferência com o passo p=t+s,
    2. a eficiência de cada aleta \eta_f usando a solução da equação das aletas finas para placa com convecção nas duas faces (e correção da ponta),
    3. a transferência de calor por aleta q_f=\eta_f\,h\,A_f\,(T_b-T_\infty), onde A_f é a área de troca de cada aleta (duas faces + ponta),
    4. a transferência do trecho de cilindro exposto entre as aletas q_{\text{exp}},
    5. somar tudo para obter Q_{\text{total}}=N q_f + q_{\text{exp}},
    6. calcular a transferência sem aletas Q_{\text{sem}} e o aumento percentual.
Explicação didática das fórmulas principais (sem pular etapas):
  • Equação diferencial da temperatura ao longo de uma aleta retangular (no caso de espessura pequena): a forma reduzida é \frac{d^2\theta}{dx^2}-m^2\theta=0,onde \theta(x)=T(x)-T_\infty é o excesso térmico e o parâmetro m é dado por m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}.Por que esse 2? Porque a aleta perde calor pelas duas faces (superfícies) principais; se fosse apenas uma face, seria h/(k t) em vez de 2h/(k t).
  • Comprimento corrigido da aleta (para incluir efeito da ponta finita) é L_c = L_f + \frac{t}{2}.Isso é uma correção padrão que trata a ponta da aleta como um alongamento efetivo de t/2.
  • Eficiência da aleta (razão entre calor real dissipado pela aleta e o calor que ela dissiparia se estivesse toda à temperatura da base) para placa com convecção nas faces e ponta corrigida é \eta_f = \frac{\operatorname{tanh}(m L_c)}{m L_c}.Essa expressão vem da solução da equação diferencial com condições de convecção na ponta.
  • Área de troca de uma aleta (assumindo espessura uniforme t, altura L_f e comprimento axial L):
    • Área das duas faces laterais: A_{\text{faces}} = 2 L_f L.
    • Área da ponta: A_{\text{ponta}} = t L.
    • Área total exposta da aleta: A_f = 2 L_f L + t L.
  • Transferência por uma aleta: q_f = \eta_f\,h\,A_f\,(T_b-T_\infty).
  • Área do cilindro exposta entre as aletas (não coberta pelas raízes das aletas) é dada por: A_{\text{exp}} = N\,s\,L,porque entre cada par de aletas há uma faixa de comprimento (circunferência) igual a s que está livre e exposta.
  • Transferência dessa área exposta: q_{\text{exp}} = h\,A_{\text{exp}}\,(T_b-T_\infty).
  • Sem aletas, a transferência do cilindro inteiro seria Q_{\text{sem}} = h\,A_{\text{cil}}\,(T_b-T_\infty),\qquad A_{\text{cil}}=\pi D L.

Passo 3

Calcular o parâmetro geométrico e o número de aletas.
  • Perímetro do cilindro: \pi D = \pi\cdot 0,5 = 1,570796\\ \mathrm{m}.
  • Passo entre centros (pitch): p=t+s=0,02+0,005=0,025\\ \mathrm{m}.
  • Número teórico de aletas (não-inteiro): N_{\text{teo}}=\frac{\pi D}{p}=\frac{1,570796}{0,025}=62,83185\ldotsComo não se pode ter fração de aleta, escolho arredondar para um número inteiro. Vou tomar N=62(arredondamento para baixo, tomamos a solução prática onde cabem 62 aletas completas; isso é conservador e comum em problemas práticos).

Passo 4

Calcular m e a eficiência \eta_f.
  • Primeiro, calcular m: m=\sqrt{\frac{2h}{k\,t}}=\sqrt{\frac{2\cdot 35}{50\cdot 0,02}}.Calcule o denominador: 50\cdot 0,02=1. Então m=\sqrt{\frac{70}{1}}=\sqrt{70}=8,366600\\ \mathrm{m^{-1}}.
  • Comprimento corrigido: L_c = L_f + \frac{t}{2}=0,04+\frac{0,02}{2}=0,05\\ \mathrm{m}.
  • Produto m L_c: m L_c = 8,366600\cdot 0,05 = 0,41833\ldots
  • Agora a eficiência: \eta_f=\frac{\operatorname{tanh}(m L_c)}{m L_c}.Calcule \operatorname{tanh}(0,41833). Usando série ou calculadora aproximada: \operatorname{tanh}(0,41833)\approx 0,3960.Portanto \eta_f \approx \frac{0,3960}{0,41833}\approx 0,9466.Interpretação: cada aleta opera com cerca de 94{,}66\% da eficiência ideal (se estivesse inteira à temperatura da base).

Passo 5

Calcular a área de troca de cada aleta A_f e a transferência por aleta q_f.
  • Área das faces: A_{\text{faces}}=2 L_f L = 2\cdot 0,04\cdot 2 = 0,16\\ \mathrm{m^2}.
  • Área da ponta: A_{\text{ponta}}=t L = 0,02\cdot 2 = 0,04\\ \mathrm{m^2}.
  • Área total por aleta: A_f = A_{\text{faces}} + A_{\text{ponta}} = 0,16 + 0,04 = 0,20\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperatura: \Delta T = T_b - T_\infty = 180\\ \mathrm{K}.
  • Transferência de calor por aleta: q_f = \eta_f\,h\,A_f\,\Delta T.Substituindo valores: q_f \approx 0,9466\cdot 35\cdot 0,20\cdot 180.Calcule passo a passo: 35\cdot 0,20 = 7, e 7\cdot 180 = 1260. Então q_f \approx 0,9466\cdot 1260 \approx 1192,7\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Transferência total pelas aletas Q_{\text{aletas}}.
  • Considerando N=62 aletas: Q_{\text{aletas}} = N\,q_f = 62\cdot 1192{,}7 \approx 73948\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular a transferência do cilindro exposto entre as aletas q_{\text{exp}}.
  • Área exposta entre aletas: A_{\text{exp}} = N\,s\,L = 62\cdot 0,005\cdot 2 = 0,62\\ \mathrm{m^2}.
  • Transferência dessa área: q_{\text{exp}} = h\,A_{\text{exp}}\,\Delta T = 35\cdot 0,62\cdot 180.Calcule: 35\cdot 0,62 = 21,7, e 21,7\cdot 180 = 3906\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Somar tudo para obter Q_{\text{total}}.
  • Transferência total do sistema aletado: Q_{\text{total}} = Q_{\text{aletas}} + q_{\text{exp}} \approx 73948 + 3906 = 77854\\ \mathrm{W}.Arredondando para três dígitos significativos: Q_{\text{total}}\approx 7,79\times 10^{4}\\ \mathrm{W} (aprox. 77{,}9\\ \mathrm{kW}).

Passo 9

Calcular a transferência sem aletas Q_{\text{sem}} e o aumento percentual.
  • Área lateral do cilindro sem aletas: A_{\text{cil}}=\pi D L = \pi\cdot 0,5\cdot 2 = \pi\cdot 1 = 3,14159\\ \mathrm{m^2}.
  • Transferência sem aletas: Q_{\text{sem}} = h\,A_{\text{cil}}\,\Delta T = 35\cdot 3,14159\cdot 180 \approx 19792\\ \mathrm{W}.
  • Aumento absoluto: \Delta Q = Q_{\text{total}} - Q_{\text{sem}} \approx 77854 - 19792 = 58062\\ \mathrm{W}.
  • Aumento percentual: \text{Aumento \%} = \frac{\Delta Q}{Q_{\text{sem}}}\cdot 100\% \approx \frac{58062}{19792}\cdot 100\% \approx 293{,}4\%.
Interpretação rápida: o sistema aletado transfiere cerca de 3,93 vezes mais calor que o cilindro liso, o que corresponde a um aumento de aproximadamente 293{,}4\%.

Resposta

Taxa total de transferência de calor: Q_{\text{total}}\approx 7{,}79\times 10^{4}\\ \mathrm{W}.
Aumento percentual em comparação ao sistema não aletado: \approx 293{,}4\%.

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