Aletas longitudinais são utilizadas para promover o resfriamento de um motor. Elas são colocadas ao redor de um cilindro de diâmetro externo igual a
e comprimento igual a 2 m que envolve o motor. As aletas são fabricadas em liga de alumínio (
) possuem 2 cm de espessura, 4 cm de comprimento e há 5 mm de espaçamento entre elas. O ambiente a que está exposto o sistema está a
e possui coeficiente convectivo de calor igual
. Considerando que a temperatura na parede externa do cilindro é de
, determine a taxa total de transferência de calor entre o sistema aletado e o ar e o aumento percentual em comparação ao sistema não aletado.
Passo 1
Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Diâmetro externo do cilindro:
. - Comprimento do cilindro:
. - Condutividade térmica da liga de alumínio:
. - Espessura da aleta:
(2 cm). - Comprimento radial da aleta (altura da aleta, do corpo do cilindro até a ponta):
(4 cm). - Espaçamento entre aletas (distância livre na circunferência entre duas aletas consecutivas):
(5 mm). - Temperatura do ambiente:
. - Coeficiente convectivo:
. - Temperatura da parede externa do cilindro (temperatura na raiz da aleta):
.
O enunciado pede:
- Determinar a taxa total de transferência de calor entre o sistema aletado e o ar (isto é,
em W). - Determinar o aumento percentual de transferência de calor em comparação ao sistema não aletado (isto é, comparar
com a transferência sem aletas).
Observações úteis que usarei depois:
- Perímetro do cilindro:
. - Área lateral do cilindro sem aletas:
. - Temperatura diferencial usada:
Passo 2
Planejamento do método (o que vou calcular e por quê — explicado passo a passo):
- A abordagem é modelo clássico de aletas retangulares finas fixadas longitudinalmente num cilindro. Cada aleta será tratada como uma aleta retangular de espessura uniforme (uma “placa” que perde calor pelas duas faces e pela ponta).
- Vou calcular:
- o número de aletas
que cabem na circunferência com o passo , - a eficiência de cada aleta
usando a solução da equação das aletas finas para placa com convecção nas duas faces (e correção da ponta), - a transferência de calor por aleta
, onde é a área de troca de cada aleta (duas faces + ponta), - a transferência do trecho de cilindro exposto entre as aletas
, - somar tudo para obter
, - calcular a transferência sem aletas
e o aumento percentual.
- o número de aletas
Explicação didática das fórmulas principais (sem pular etapas):
- Equação diferencial da temperatura ao longo de uma aleta retangular (no caso de espessura pequena): a forma reduzida é
onde é o excesso térmico e o parâmetro é dado por Por que esse ? Porque a aleta perde calor pelas duas faces (superfícies) principais; se fosse apenas uma face, seria em vez de . - Comprimento corrigido da aleta (para incluir efeito da ponta finita) é
Isso é uma correção padrão que trata a ponta da aleta como um alongamento efetivo de . - Eficiência da aleta (razão entre calor real dissipado pela aleta e o calor que ela dissiparia se estivesse toda à temperatura da base) para placa com convecção nas faces e ponta corrigida é
Essa expressão vem da solução da equação diferencial com condições de convecção na ponta. - Área de troca de uma aleta (assumindo espessura uniforme
, altura e comprimento axial ): - Área das duas faces laterais:
. - Área da ponta:
. - Área total exposta da aleta:
.
- Área das duas faces laterais:
- Transferência por uma aleta:
- Área do cilindro exposta entre as aletas (não coberta pelas raízes das aletas) é dada por:
porque entre cada par de aletas há uma faixa de comprimento (circunferência) igual a que está livre e exposta. - Transferência dessa área exposta:
- Sem aletas, a transferência do cilindro inteiro seria
Passo 3
Calcular o parâmetro geométrico e o número de aletas.
- Perímetro do cilindro:
- Passo entre centros (pitch):
. - Número teórico de aletas (não-inteiro):
Como não se pode ter fração de aleta, escolho arredondar para um número inteiro. Vou tomar (arredondamento para baixo, tomamos a solução prática onde cabem 62 aletas completas; isso é conservador e comum em problemas práticos).
Passo 4
Calcular
e a eficiência
.
- Primeiro, calcular
: Calcule o denominador: . Então - Comprimento corrigido:
- Produto
: - Agora a eficiência:
Calcule . Usando série ou calculadora aproximada: Portanto Interpretação: cada aleta opera com cerca de da eficiência ideal (se estivesse inteira à temperatura da base).
Passo 5
Calcular a área de troca de cada aleta
e a transferência por aleta
.
- Área das faces:
- Área da ponta:
- Área total por aleta:
- Diferença de temperatura:
- Transferência de calor por aleta:
Substituindo valores: Calcule passo a passo: e Então
Passo 6
Transferência total pelas aletas
.
- Considerando
aletas:
Passo 7
Calcular a transferência do cilindro exposto entre as aletas
.
- Área exposta entre aletas:
- Transferência dessa área:
Calcule: e
Passo 8
Somar tudo para obter
.
- Transferência total do sistema aletado:
Arredondando para três dígitos significativos: (aprox. ).
Passo 9
Calcular a transferência sem aletas
e o aumento percentual.
- Área lateral do cilindro sem aletas:
- Transferência sem aletas:
- Aumento absoluto:
- Aumento percentual:
Interpretação rápida: o sistema aletado transfiere cerca de 3,93 vezes mais calor que o cilindro liso, o que corresponde a um aumento de aproximadamente
.
Resposta
Taxa total de transferência de calor:
.
Aumento percentual em comparação ao sistema não aletado:
.