Qual é a relação entre a capacitância de dois capacitores iguais ligados em série e a capacitância de um dos capacitores?
Passo 1
O enunciado pergunta: qual é a relação entre a capacitância equivalente de dois capacitores idênticos ligados em série e a capacitância de um dos capacitores.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): os dois capacitores são iguais, portanto cada um tem capacitância . Eles estão conectados em série (um após o outro), e queremos a capacitância equivalente do conjunto.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): os dois capacitores são iguais, portanto cada um tem capacitância
Passo 2
Vamos lembrar do conceito fundamental de capacitor e da fórmula que relaciona carga, capacitância e tensão.
Um capacitor armazena carga elétrica. A relação básica é
Um capacitor armazena carga elétrica. A relação básica é
onde
é a carga armazenada (em coulombs),
é a capacitância (em farads) e
é a diferença de potencial (em volts) aplicada ao capacitor.
Explicando com calma: para um dado capacitor, quanto maior a capacitância , maior a carga
que ele guarda para a mesma tensão
.
Explicando com calma: para um dado capacitor, quanto maior a capacitância
Passo 3
Propriedades importantes de capacitores em série (isso é essencial para a resolução):
- Em uma ligação em série, a mesma carga
aparece em cada capacitor. Isso acontece porque a corrente que carregou os capacitores percorreu a cadeia; cargas opostas se acumulam nas placas de contato e não há lugar para “sair” carga entre eles. Portanto, se os capacitores são e , ambos têm a mesma carga . - A tensão total fornecida à associação em série é a soma das tensões em cada capacitor. Ou seja, se a tensão total é
, então
onde
e
são as tensões nos capacitores
e
, respectivamente.
Passo 4
Usando
para cada capacitor e a soma das tensões, escrevemos para a associação equivalente:
logo
A tensão total é
Mas a capacitância equivalente
da associação é definida pela mesma relação básica
. Isolando
temos
Comparando com a expressão anterior:
Dividindo por
(assumindo
) obtemos a fórmula clássica para capacitores em série:
Passo 5
Agora aplicamos ao caso específico: os dois capacitores são iguais, isto é
. Substituindo na fórmula:
Invertendo ambos os lados para achar
,
Passo 6
Interpretação física e intuição rápida: ligar dois capacitores idênticos em série é como aumentar a distância efetiva entre placas (ou colocar dieletricamente “em série”), então a capacidade de armazenar carga para uma mesma tensão diminui — no caso de dois iguais, cai exatamente pela metade. É análogo, mas invertido, à regra de resistores em paralelo (aqui os capacitores em série têm capacitância menor).
Passo 7
Exemplo numérico para fixar: se cada capacitor tem
, então a capacitância equivalente em série é
Isso confirma concretamente o resultado.