Qual é a relação entre a capacitância de dois capacitores iguais ligados em série e a capacitância de um dos capacitores?

Passo 1

O enunciado pergunta: qual é a relação entre a capacitância equivalente de dois capacitores idênticos ligados em série e a capacitância de um dos capacitores.
Informações dadas (explícitas ou implícitas): os dois capacitores são iguais, portanto cada um tem capacitância \,C. Eles estão conectados em série (um após o outro), e queremos a capacitância equivalente do conjunto.

Passo 2

Vamos lembrar do conceito fundamental de capacitor e da fórmula que relaciona carga, capacitância e tensão.
Um capacitor armazena carga elétrica. A relação básica é
Q = C\,V,
onde \,Q é a carga armazenada (em coulombs), \,C é a capacitância (em farads) e \,V é a diferença de potencial (em volts) aplicada ao capacitor.
Explicando com calma: para um dado capacitor, quanto maior a capacitância \,C, maior a carga \,Q que ele guarda para a mesma tensão \,V.

Passo 3

Propriedades importantes de capacitores em série (isso é essencial para a resolução):
  • Em uma ligação em série, a mesma carga \,Q aparece em cada capacitor. Isso acontece porque a corrente que carregou os capacitores percorreu a cadeia; cargas opostas se acumulam nas placas de contato e não há lugar para “sair” carga entre eles. Portanto, se os capacitores são C_1 e C_2, ambos têm a mesma carga \,Q.
  • A tensão total fornecida à associação em série é a soma das tensões em cada capacitor. Ou seja, se a tensão total é \,V_{\text{eq}}, então
V_{\text{eq}} = V_1 + V_2,
onde \,V_1 e \,V_2 são as tensões nos capacitores C_1 e C_2, respectivamente.

Passo 4

Usando \,Q=C\,V para cada capacitor e a soma das tensões, escrevemos para a associação equivalente:
Q = C_1 V_1 \quad\text{e}\quad Q = C_2 V_2,
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V_1 = \frac{Q}{C_1},\qquad V_2 = \frac{Q}{C_2}.
A tensão total é
V_{\text{eq}} = V_1 + V_2 = \frac{Q}{C_1} + \frac{Q}{C_2} = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right).
Mas a capacitância equivalente C_{\text{eq}} da associação é definida pela mesma relação básica Q = C_{\text{eq}} V_{\text{eq}}. Isolando V_{\text{eq}} temos
V_{\text{eq}} = \frac{Q}{C_{\text{eq}}}.
Comparando com a expressão anterior:
\frac{Q}{C_{\text{eq}}} = Q\left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right).
Dividindo por Q (assumindo Q\neq 0) obtemos a fórmula clássica para capacitores em série:
\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}.

Passo 5

Agora aplicamos ao caso específico: os dois capacitores são iguais, isto é \,C_1 = C_2 = C. Substituindo na fórmula:
\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{2}{C}.
Invertendo ambos os lados para achar C_{\text{eq}},
C_{\text{eq}} = \frac{C}{2}.

Passo 6

Interpretação física e intuição rápida: ligar dois capacitores idênticos em série é como aumentar a distância efetiva entre placas (ou colocar dieletricamente “em série”), então a capacidade de armazenar carga para uma mesma tensão diminui — no caso de dois iguais, cai exatamente pela metade. É análogo, mas invertido, à regra de resistores em paralelo (aqui os capacitores em série têm capacitância menor).

Passo 7

Exemplo numérico para fixar: se cada capacitor tem \,C=10\,\mu\text{F}, então a capacitância equivalente em série é
C_{\text{eq}}=\frac{10\,\mu\text{F}}{2}=5\,\mu\text{F}.
Isso confirma concretamente o resultado.

Resposta

\displaystyle C_{\text{eq}}=\frac{C}{2}

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