O que é uma relação de dispersão? Escreva as relações de dispersão para uma partícula sem massa e para uma partícula com massa. Discuta algumas diferenças marcantes entre elas.

Passo 1

O enunciado pergunta o que é uma relação de dispersão e pede as fórmulas para partículas sem massa e com massa, além de comparar as diferenças. O conteúdo envolve ondas quânticas e as relações de de Broglie \,E = \hbar \omega, e \,p = \hbar k, junto à energia relativística \,E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4,.

Passo 2

Uma relação de dispersão é a conexão entre a frequência angular \omega de uma onda e seu número de onda k. Ela determina como um pacote de ondas (ou uma partícula quântica) se propaga, já que a velocidade de grupo é
v_{\text{g}} = \frac{d\omega}{dk}.

Passo 3

Para uma partícula sem massa m=0 a energia relativística reduz-se a
E = pc,
e como E = \hbar \omega e p = \hbar k, obtemos a relação de dispersão linear
\omega(k) = c\,k.

Passo 4

Para uma partícula com massa m\neq0 usamos
E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4,
isto é,
(\hbar \omega)^2 = (\hbar k)^2 c^2 + m^2 c^4,
logo a relação de dispersão é
\omega(k) = \sqrt{c^2 k^2 + \bigl(\tfrac{m c^2}{\hbar}\bigr)^{2}}.

Passo 5

As diferenças marcantes são:
  1. A partícula sem massa tem dispersão linear \omega\propto k, o que dá velocidade de grupo constante v_{\text{g}}=c.
  2. A partícula com massa tem dispersão não linear, de modo que
v_{\text{g}}(k)=\frac{d\omega}{dk}=\frac{c^2 k}{\sqrt{c^2 k^2+(m c^2/\hbar)^2}}<c,
e depende de k.
3. No caso massivo aparece um termo de energia de repouso m c^2, criando um “gap” em \omega quando k\to0, ao contrário do caso m=0, em que \omega\to0 junto com k.

Resposta

Relações de dispersão:
\omega(k) = c\,k \quad\text{(partícula sem massa)},í
\omega(k) = \sqrt{c^2 k^2 + \bigl(\tfrac{m c^2}{\hbar}\bigr)^{2}}\quad\text{(partícula com massa)}.í

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