Com relação às distribuições amostrais, indique se a assertiva é verdadeira ou falsa.

Caso seja falsa, justifique a razão.

Seja X uma v. a. com distribuição de Bernoulli, com média p e variância igual a p \cdot(1-p). Sorteia-se uma amostra aleatória simples com reposição formada pelos elementos X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}. Então, pelo Teorema do Limite Central, para n grande \frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n} terá distribuição aproximadamente Normal, com média p e variância p \cdot(1-p).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Dado: X é uma variável aleatória Bernoulli com média p e variância p(1-p).
  • Dado: extraem-se X_{1},X_{2},\ldots,X_{n} i.i.d. (amostra aleatória simples com reposição) com mesma distribuição de X.
  • Afirmação a avaliar: “Pelo Teorema do Limite Central, para n grande \dfrac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n} terá distribuição aproximadamente Normal, com média p e variância p\cdot(1-p).”
  • O que é pedido: indicar se a assertiva é verdadeira ou falsa; se for falsa, justificar a razão.

Passo 2

Entendendo expectativas e variâncias (mini-aula): para qualquer variável aleatória Y,
  • A esperança (média) é \mathbb{E}[Y]. Ela mede o valor médio esperado de Y.
  • A variância é \mathrm{Var}(Y)=\mathbb{E}[(Y-\mathbb{E}[Y])^{2}]. Ela mede a dispersão em torno da média.
Duas propriedades que vamos usar e que são essenciais:
  1. Se Y_{1},\dots,Y_{n} são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com \mathbb{E}[Y_{i}]=\mu e \mathrm{Var}(Y_{i})=\sigma^{2}, então
\mathbb{E}\!\left[\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right]=n\mu
e
\mathrm{Var}\!\left(\sum_{i=1}^{n} Y_{i}\right)=n\sigma^{2}.
(Explicação curta: esperança soma normalmente; variâncias somam para variáveis independentes.)
  1. Para uma constante a, \mathrm{Var}(aY)=a^{2}\mathrm{Var}(Y). Em particular, para a média amostral \overline{Y}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_{i},
\mathrm{Var}(\overline{Y})=\frac{1}{n^{2}}\mathrm{Var}\!\left(\sum_{i=1}^{n}Y_{i}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n}.
(Essa é a razão pela qual dividir pela amostra reduz a variabilidade: a variância escala com 1/n.)

Passo 3

Aplicando isso ao caso Bernoulli: para cada X_{i} temos \mathbb{E}[X_{i}]=p e \mathrm{Var}(X_{i})=p(1-p). Então, para a soma S_{n}=\sum_{i=1}^{n}X_{i} obtemos
\mathbb{E}[S_{n}]=n p
e
\mathrm{Var}(S_{n})=n\cdot p(1-p).
Mostrei passo a passo: usei linearidade da esperança e soma de variâncias por independência.

Passo 4

Agora calcule a média amostral \overline{X}_{n}=\dfrac{S_{n}}{n}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Usando as propriedades do Passo 2:
\mathbb{E}[\overline{X}_{n}]=\frac{1}{n}\mathbb{E}[S_{n}]=\frac{1}{n}\cdot n p = p.
\mathrm{Var}(\overline{X}_{n})=\frac{1}{n^{2}}\mathrm{Var}(S_{n})=\frac{1}{n^{2}}\cdot n\,p(1-p)=\frac{p(1-p)}{n}.
Conclusão prática daqui: a média amostral tem média p (sem surpresa) e variância decrescente com n, exatamente \dfrac{p(1-p)}{n}.

Passo 5

Enunciando o Teorema do Limite Central (TLG) em forma útil (mini-aula):
Se Y_{1},\dots,Y_{n} são i.i.d. com média \mu e variância finita \sigma^{2}, então, para n grande, a soma padronizada converge em distribuição a uma Normal padrão:
\frac{\sum_{i=1}^{n}Y_{i}-n\mu}{\sqrt{n}\,\sigma}\xrightarrow{d}N(0,1).
Isso implica, reescrevendo em termos da média amostral \overline{Y}_{n},
\frac{\overline{Y}_{n}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\xrightarrow{d}N(0,1),
ou seja, para n grande
\overline{Y}_{n}\approx N\!\left(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n}\right).
No nosso caso, \mu=p e \sigma^{2}=p(1-p), então o TLG dá a aproximação
\overline{X}_{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\approx N\!\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).

Passo 6

Comparando com a afirmação do enunciado: o enunciado disse que \dfrac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n} seria aproximadamente Normal com média p e variância p(1-p). A média está correta, mas a variância está errada: a variância correta da média amostral é \dfrac{p(1-p)}{n}, não p(1-p). A fonte do erro no enunciado é esquecer que ao dividir a soma por n a variância diminui em um fator n^{2}, e por isso aparece o 1/n final.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para intuir: suponha p=0,3 e n=100. Então
\mathrm{Var}(\overline{X}_{100})=\frac{0,3\cdot 0,7}{100}=0,0021.
A afirmação do enunciado (se usada) diria variância 0,21, que é 100 vezes maior do que a correta — claramente inconsistente com a ideia de que a média de 100 observações é muito mais estável que uma única observação.

Resposta

Falsa

Exercícios relacionados