Com relação às distribuições amostrais, indique se a assertiva é verdadeira ou falsa.

Caso seja falsa, justifique a razão.

Para amostras aleatórias simples retiradas de uma população com média \mu e variância \sigma^{2}, a distribuição amostral da média \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n} aproxima-se, para n grande, de uma distribuição Normal, com média \mu e variância \frac{\sigma^{2}}{n}.

Passo 1

O enunciado afirma que, para amostras aleatórias simples retiradas de uma população com média \mu e variância \sigma^{2}, a distribuição amostral da média \bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n} X_{i}}{n} aproxima-se, para n grande, de uma distribuição Normal com média \mu e variância \frac{\sigma^{2}}{n}.\n
Informações dadas:
\mu = média da população (valor fixo).
\sigma^{2} = variância da população (valor fixo).
\bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i = média amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho n.\n
Pergunta implícita: essa afirmação é verdadeira ou falsa? Se for falsa, justificar por que.

Passo 2

Vamos entender o caso mais comum onde a afirmação é verdadeira: quando os X_i são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) com E[X_i]=\mu e \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^{2}<\infty. Nesse cenário vale o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL diz, em linguagem prática, que a média amostral, depois de padronizada, converge em distribuição para a Normal padrão quando n aumenta. Em fórmulas:
\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\xrightarrow{d} N(0,1)\quad\text{quando }n\to\infty.
Isto significa que, para n grande, \bar{X} é aproximadamente Normal com média \mu e variância \sigma^{2}/n. Aqui cada símbolo significa:
  • \bar{X}: média amostral;
  • \mu: média verdadeira da população;
  • \sigma^{2}: variância verdadeira da população;
  • \sigma/\sqrt{n}: desvio-padrão da média amostral (quando X_i são i.i.d.).
    Resumo: se as observações são independentes (por ex., amostragem com reposição, ou amostras de uma população efetivamente infinita), a afirmação é correta por efeito do TCL.

Passo 3

Agora vejamos o que muda quando a amostra é uma amostra aleatória simples sem reposição (SRSWOR) de uma população finita de tamanho N. Nesse caso as observações não são independentes: retirar uma unidade reduz a probabilidade das demais serem retiradas. Esse vício de independência afeta a variância da média amostral. Vamos calcular a variância exata de \bar{X} nesse caso.\n
Defina os valores da população como x_1,\dots,x_N com média populacional
\mu=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N x_k
e variância populacional (definição com denominador N)
\sigma^{2}=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N (x_k-\mu)^2.
Para amostra aleatória simples sem reposição, a variância da média amostral pode ser escrita como
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^2}\Big(n\operatorname{Var}(X_i)+n(n-1)\operatorname{Cov}(X_i,X_j)\Big),
onde i\neq j. Aqui usamos que há n variâncias e n(n-1) covariâncias entre pares distintos.

Passo 4

Precisamos do valor de \operatorname{Cov}(X_i,X_j) para i\neq j em SRSWOR. Podemos calcular E[X_i X_j] (para i\neq j) a partir da população:
E[X_i X_j]=\frac{1}{N(N-1)}\sum_{k\neq \ell} x_k x_\ell.
Fazendo a conta
\sum_{k\neq\ell} x_k x_\ell = \Big(\sum_{k=1}^N x_k\Big)^2 - \sum_{k=1}^N x_k^2 = N^2\mu^2 - \sum_{k=1}^N x_k^2.
Portanto
E[X_i X_j]=\frac{N^2\mu^2 - \sum_{k=1}^N x_k^2}{N(N-1)}.
A covariância é \operatorname{Cov}(X_i,X_j)=E[X_i X_j]-\mu^2. Substituindo e simplificando obtemos (escrevendo \sum (x_k-\mu)^2 = N\sigma^2):
\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=-\frac{\sigma^{2}}{\,N-1\,}.

Passo 5

Substituindo \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^{2} e \operatorname{Cov}(X_i,X_j)=-\dfrac{\sigma^{2}}{N-1} na expressão da variância da média:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{1}{n^2}\Big(n\sigma^{2}+n(n-1)\Big(-\frac{\sigma^{2}}{N-1}\Big)\Big).
Fazendo a álgebra:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}\Big(1-\frac{n-1}{N-1}\Big)=\frac{\sigma^{2}}{n}\cdot\frac{N-n}{N-1}.
Esse fator \dfrac{N-n}{N-1} é o fator de correção por população finita (finite population correction, FPC). É o termo que corrige a variância quando a amostra é retirada sem reposição de uma população finita.

Passo 6

Interpretação e consequência: a afirmação original dizia que a variância da distribuição aproximada da média é \dfrac{\sigma^{2}}{n}. Pelo que vimos, isso só é correto quando a correção por população finita é aproximadamente 1. Então:
  • Se a amostra for com reposição, ou se os X_i forem i.i.d. de uma distribuição (população efetivamente infinita), então a afirmação é verdadeira: \operatorname{Var}(\bar{X})\approx\sigma^{2}/n e o TCL garante normalidade para n grande.\n
  • Se a amostra for uma amostra aleatória simples sem reposição de uma população finita de tamanho N, então a variância exata é \dfrac{\sigma^{2}}{n}\cdot\dfrac{N-n}{N-1}, que difere de \sigma^{2}/n quando n não é desprezível em relação a N. Neste caso a afirmação, tal como escrita, está incompleta/errada se não especificar o caso de reposição ou N grande.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar a ideia: suponha \sigma^{2}=4, N=10 e n=5. A afirmação original previaria
\operatorname{Var}(\bar{X})\approx \frac{4}{5}=0{,}8.
Mas usando a fórmula correta para SRSWOR:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\frac{4}{5}\cdot\frac{10-5}{10-1}=0{,}8\cdot\frac{5}{9}=0{,}8\cdot0{,}555\ldots\approx0{,}444\ldots
Há diferença significativa porque n não é pequeno frente a N. Se N fosse muito grande (por exemplo N=10^6), o fator \dfrac{N-n}{N-1}\approx 1 e a aproximação \sigma^{2}/n volta a ser válida.

Passo 8

Resposta final e recomendação prática: quando sua amostra é retirada sem reposição de uma população finita, lembre-se do fator de correção por população finita. Quando for amostragem com reposição ou população muito grande em relação a n, o Teorema Central do Limite garante a aproximação Normal com variância \sigma^{2}/n.

Resposta

Falsa.

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