Com relação às distribuições amostrais, indique se a assertiva é verdadeira ou falsa.
Caso seja falsa, justifique a razão.
Para amostras aleatórias simples retiradas de uma população com média
e variância
, a distribuição amostral da média
aproxima-se, para
grande, de uma distribuição Normal, com média
e variância
.
Passo 1
O enunciado afirma que, para amostras aleatórias simples retiradas de uma população com média
e variância
, a distribuição amostral da média
aproxima-se, para
grande, de uma distribuição Normal com média
e variância
.\n
Informações dadas:
= média da população (valor fixo).
= variância da população (valor fixo).
= média amostral de uma amostra aleatória simples de tamanho
.\n
Pergunta implícita: essa afirmação é verdadeira ou falsa? Se for falsa, justificar por que.
Informações dadas:
Pergunta implícita: essa afirmação é verdadeira ou falsa? Se for falsa, justificar por que.
Passo 2
Vamos entender o caso mais comum onde a afirmação é verdadeira: quando os
são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.) com
e
. Nesse cenário vale o Teorema Central do Limite (TCL). O TCL diz, em linguagem prática, que a média amostral, depois de padronizada, converge em distribuição para a Normal padrão quando
aumenta. Em fórmulas:
Isto significa que, para
grande,
é aproximadamente Normal com média
e variância
. Aqui cada símbolo significa:
-
: média amostral; -
: média verdadeira da população; -
: variância verdadeira da população; -
: desvio-padrão da média amostral (quando são i.i.d.).
Resumo: se as observações são independentes (por ex., amostragem com reposição, ou amostras de uma população efetivamente infinita), a afirmação é correta por efeito do TCL.
Passo 3
Agora vejamos o que muda quando a amostra é uma amostra aleatória simples sem reposição (SRSWOR) de uma população finita de tamanho
. Nesse caso as observações não são independentes: retirar uma unidade reduz a probabilidade das demais serem retiradas. Esse vício de independência afeta a variância da média amostral. Vamos calcular a variância exata de
nesse caso.\n
Defina os valores da população como com média populacional
Defina os valores da população como
e variância populacional (definição com denominador
)
Para amostra aleatória simples sem reposição, a variância da média amostral pode ser escrita como
onde
. Aqui usamos que há
variâncias e
covariâncias entre pares distintos.
Passo 4
Precisamos do valor de
para
em SRSWOR. Podemos calcular
(para
) a partir da população:
Fazendo a conta
Portanto
A covariância é
. Substituindo e simplificando obtemos (escrevendo
):
Passo 5
Substituindo
e
na expressão da variância da média:
Fazendo a álgebra:
Esse fator
é o fator de correção por população finita (finite population correction, FPC). É o termo que corrige a variância quando a amostra é retirada sem reposição de uma população finita.
Passo 6
Interpretação e consequência: a afirmação original dizia que a variância da distribuição aproximada da média é
. Pelo que vimos, isso só é correto quando a correção por população finita é aproximadamente
. Então:
- Se a amostra for com reposição, ou se os
forem i.i.d. de uma distribuição (população efetivamente infinita), então a afirmação é verdadeira: e o TCL garante normalidade para grande.\n - Se a amostra for uma amostra aleatória simples sem reposição de uma população finita de tamanho
, então a variância exata é , que difere de quando não é desprezível em relação a . Neste caso a afirmação, tal como escrita, está incompleta/errada se não especificar o caso de reposição ou grande.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar a ideia: suponha
,
e
. A afirmação original previaria
Mas usando a fórmula correta para SRSWOR:
Há diferença significativa porque
não é pequeno frente a
. Se
fosse muito grande (por exemplo
), o fator
e a aproximação
volta a ser válida.
Passo 8
Resposta final e recomendação prática: quando sua amostra é retirada sem reposição de uma população finita, lembre-se do fator de correção por população finita. Quando for amostragem com reposição ou população muito grande em relação a
, o Teorema Central do Limite garante a aproximação Normal com variância
.
Resposta
Falsa.