Com relação às distribuições amostrais, indique se a assertiva é verdadeira ou falsa.
Caso seja falsa, justifique a razão.
A variância amostral
segue uma distribuição qui-quadrado se e somente se a população tiver distribuição Normal.
Passo 1
O enunciado dá a variância amostral
e afirma que “siga uma distribuição qui-quadrado se e somente se a população tiver distribuição Normal”. A tarefa é dizer se essa assertiva é verdadeira ou falsa e, se for falsa, justificar por que.
Passo 2
Vamos mostrar primeiro o que é correto (a parte “se”). Suponha que
sejam independentes e identicamente distribuídas como
. Defina
; então
são i.i.d.
. Note que
onde
. Há um resultado padrão (que vem de aplicar uma transformação ortogonal que separa a componente média) que diz que
é a soma dos quadrados de
variáveis normais padrão independentes. Portanto
Isto é a forma correta e clássica: quando a população é Normal, o estatístico
tem distribuição qui-quadrado com
graus de liberdade.
Passo 3
Agora observe um ponto crucial: a afirmação do enunciado diz que “a variância amostral
segue uma distribuição qui-quadrado”. Repare que, da relação correta acima, temos
onde
. Ou seja,
é um múltiplo (uma versão escalada) de uma qui-quadrado, não uma qui-quadrado “pura” sem fator de escala. Em palavras:
tem uma distribuição da forma "constante ×
", não exatamente
.
Passo 4
Por que isso importa para decidir verdadeiro/falso? Porque a afirmação dada é imprecisa e, assim como está, está errada. Se exigirmos literalidade: dizer que
segue
(sem escala) é falso em geral — mesmo quando a população é Normal. Por exemplo, tome
e
. Então, quando os
são Normais, temos
logo
não é
, é
. Em particular, as expectativas não batem:
enquanto
; para
ser exatamente
seria necessário um ajuste de escala que nem sempre coincide com a definição padrão de qui-quadrado.
Passo 5
Complemento importante (para quem gosta da teoria): a versão correta é
Quanto à parte “somente se” (o recíproco): existe uma caracterização clássica que diz que, sob hipóteses razoáveis, o fato de
ter exatamente distribuição
(ou, equivalente em muitas formulações, a independência entre
e
) implica que a população é Normal. Mas isso é outro teorema — o ponto principal aqui é que a afirmação dada, escrita como “
segue qui-quadrado iff população Normal”, está equivocada por omitir o fator de escala.
Resposta
Falsa.