Com relação às distribuições amostrais, indique se a assertiva é verdadeira ou falsa.

Caso seja falsa, justifique a razão.

A variância amostral s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n-1} segue uma distribuição qui-quadrado se e somente se a população tiver distribuição Normal.

Passo 1

O enunciado dá a variância amostral
s^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{n-1}
e afirma que “siga uma distribuição qui-quadrado se e somente se a população tiver distribuição Normal”. A tarefa é dizer se essa assertiva é verdadeira ou falsa e, se for falsa, justificar por que.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro o que é correto (a parte “se”). Suponha que X_{1},\dots,X_{n} sejam independentes e identicamente distribuídas como \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}). Defina Z_{i}=(X_{i}-\mu)/\sigma; então Z_{i} são i.i.d. \mathcal{N}(0,1). Note que
\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} = \sigma^{2}\sum_{i=1}^{n}\left(Z_{i}-\bar{Z}\right)^{2},
onde \bar{Z}=(1/n)\sum_{i=1}^{n}Z_{i}. Há um resultado padrão (que vem de aplicar uma transformação ortogonal que separa a componente média) que diz que \sum_{i=1}^{n}\left(Z_{i}-\bar{Z}\right)^{2} é a soma dos quadrados de n-1 variáveis normais padrão independentes. Portanto
\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}} = \sum_{i=1}^{n}\left(Z_{i}-\bar{Z}\right)^{2} \sim \chi^{2}_{\,n-1}.
Isto é a forma correta e clássica: quando a população é Normal, o estatístico (n-1)s^{2}/\sigma^{2} tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

Passo 3

Agora observe um ponto crucial: a afirmação do enunciado diz que “a variância amostral s^{2} segue uma distribuição qui-quadrado”. Repare que, da relação correta acima, temos
s^{2}=\frac{\sigma^{2}}{n-1}\cdot Y,
onde Y\sim\chi^{2}_{\,n-1}. Ou seja, s^{2} é um múltiplo (uma versão escalada) de uma qui-quadrado, não uma qui-quadrado “pura” sem fator de escala. Em palavras: s^{2} tem uma distribuição da forma "constante × \chi^{2}", não exatamente \chi^{2}.

Passo 4

Por que isso importa para decidir verdadeiro/falso? Porque a afirmação dada é imprecisa e, assim como está, está errada. Se exigirmos literalidade: dizer que s^{2} segue \chi^{2} (sem escala) é falso em geral — mesmo quando a população é Normal. Por exemplo, tome n=5 e \sigma^{2}=1. Então, quando os X_{i} são Normais, temos
s^{2}=\frac{1}{4}\,Y,\quad Y\sim\chi^{2}_{4},
logo s^{2} não é \chi^{2}_{4}, é \tfrac{1}{4}\chi^{2}_{4}. Em particular, as expectativas não batem: E[s^{2}]=\sigma^{2} enquanto E[\chi^{2}_{k}]=k; para s^{2} ser exatamente \chi^{2}_{k} seria necessário um ajuste de escala que nem sempre coincide com a definição padrão de qui-quadrado.

Passo 5

Complemento importante (para quem gosta da teoria): a versão correta é
\frac{(n-1)s^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{\,n-1}\quad\text{se os }X_i\text{ são iid }\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}).ã
Quanto à parte “somente se” (o recíproco): existe uma caracterização clássica que diz que, sob hipóteses razoáveis, o fato de (n-1)s^{2}/\sigma^{2} ter exatamente distribuição \chi^{2}_{n-1} (ou, equivalente em muitas formulações, a independência entre \bar X e s^{2}) implica que a população é Normal. Mas isso é outro teorema — o ponto principal aqui é que a afirmação dada, escrita como “ s^{2} segue qui-quadrado iff população Normal”, está equivocada por omitir o fator de escala.

Resposta

Falsa.

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