Em relação às equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes
verifique que as soluções obtidas em aula, nos casos
e
geram todas as suas soluções (i.e., os wronskianos não se anulam).
Passo 1
O enunciado pede para verificar que, nos casos de raiz dupla (b²=4c) e de raízes complexas conjugadas (b²<4c), as soluções que vimos em aula formam um conjunto fundamental, ou seja, têm Wronskiano não nulo. O conteúdo é equações lineares de 2ᵃ ordem com coeficientes constantes e vamos usar a definição de Wronskiano: para duas soluções y₁, y₂,
eu explico passo a passo como mostrar que W(t)≠0.
Passo 2
No caso b²=4c, temos raiz dupla r=-b/2. As duas soluções independentes são
Calculemos as derivadas:
Então o Wronskiano é
$$W(t)=y_1(t)y’_2(t)-y’_1(t)y_2(t)=e{rt}(1+rt)e{rt}-r e^{rt}igl(t e^{rt})
=\bigl(1+rt -rt\bigr)e{2rt}=e{2rt}.$$
Como nunca é zero, concluímos que neste caso as soluções são independentes.
Como
Passo 3
No caso b²<4c, definimos
As soluções reais básicas são
Derivando:
O Wronskiano fica
Como
e
, temos W(t)≠0.
Passo 4
Em ambos os casos o Wronskiano é não nulo para todo t, provando que as soluções obtidas em aula formam um conjunto fundamental e, portanto, geram todas as soluções da equação.
Resposta
No caso b²=4c, W(t)=e^{2rt}≠0; no caso b²<4c, W(t)=ω e^{2αt}≠0. Assim, em ambos os casos as soluções são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções.