Em relação às equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes
y^prime prime(t)+b y^prime(t)+c y(t)=0
verifique que as soluções obtidas em aula, nos casos b^2=4 c e b^2<4 c geram todas as suas soluções (i.e., os wronskianos não se anulam).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, nos casos de raiz dupla (b²=4c) e de raízes complexas conjugadas (b²<4c), as soluções que vimos em aula formam um conjunto fundamental, ou seja, têm Wronskiano não nulo. O conteúdo é equações lineares de 2ᵃ ordem com coeficientes constantes e vamos usar a definição de Wronskiano: para duas soluções y₁, y₂,
W(t)=y1(t)y'2(t)-y'1(t)y2(t),
eu explico passo a passo como mostrar que W(t)≠0.

Passo 2

No caso b²=4c, temos raiz dupla r=-b/2. As duas soluções independentes são
y1(t)=e^rt,
y2(t)=t e^rt
Calculemos as derivadas:
y'1(t)=r e^rt,
y'2(t)=e^rt+rt e^rt=(1+rt)e^rt
Então o Wronskiano é
$$W(t)=y_1(t)y’_2(t)-y’_1(t)y_2(t)=e{rt}(1+rt)e{rt}-r e^{rt}igl(t e^{rt})
=\bigl(1+rt -rt\bigr)e{2rt}=e{2rt}.$$
Como W(t)=y1(t)y'2(t)-y'1(t)y2(t)=e^rt(1+rt)e^rt-r e^rtigl(t e^rt) =l(1+rt -rtr)e^2rt=e^2rt nunca é zero, concluímos que neste caso as soluções são independentes.

Passo 3

No caso b²<4c, definimos
alpha=- b2, omega=raiz4c-b^22
As soluções reais básicas são
y1(t)=e^alpha tcos(omega t),
y2(t)=e^alpha tsin(omega t)
Derivando:
y'1(t)=alpha e^alpha tcos(omega t)-omega e^alpha tsin(omega t),
y'2(t)=alpha e^alpha tsin(omega t)+omega e^alpha tcos(omega t)
O Wronskiano fica
W(t)=y1y'2-y'1y2=e^2alpha tomega
Como omega=tfracraiz4c-b^22>0 e e^2alpha tneq0, temos W(t)≠0.

Passo 4

Em ambos os casos o Wronskiano é não nulo para todo t, provando que as soluções obtidas em aula formam um conjunto fundamental e, portanto, geram todas as soluções da equação.

Resposta

No caso b²=4c, W(t)=e^{2rt}≠0; no caso b²<4c, W(t)=ω e^{2αt}≠0. Assim, em ambos os casos as soluções são linearmente independentes e formam uma base do espaço de soluções.

Exercícios relacionados