Uma chapa de metal aquecida, está situada no plano xy de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em (3,4) é de 100 graus. Um objeto se encontra no ponto P0(2, -3). Se o objeto se mover na direção do vetor v=lang<= -1,-3 rang<=, ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa de metal aquecida no plano xy, onde a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância desse ponto até a origem (0,0). Sabemos que no ponto (3,4) a temperatura é de 100 graus. Queremos descobrir se um objeto que está no ponto P₀(2, -3) vai aquecer ou esfriar quando se move na direção do vetor v = ⟨-1, -3⟩, e também qual é a taxa dessa mudança. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como a derivada direcional e o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como está definida a temperatura na chapa. A temperatura T em qualquer ponto (x, y) é inversamente proporcional à distância desse ponto até a origem. A distância de (x, y) até a origem é dada pela fórmula:
d = raizx^2 + y^2
Então, podemos escrever a temperatura como:
T(x, y) = kd = kraizx^2 + y^2
onde k é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar o valor de k, usamos a informação que no ponto (3,4) a temperatura é 100 graus. Vamos substituir esses valores na equação:
100 = kraiz3^2 + 4^2 = k5
Resolvendo para k:
k = 100 times 5 = 500
Então, a função temperatura fica:
T(x, y) = 500raizx^2 + y^2

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função temperatura, que nos dará a direção de maior aumento da temperatura. O gradiente é dado por:
nabla T = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y )
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeira, para x:
partial Tpartial x = ddx ( 500raizx^2 + y^2 ) = -500 cdot x(x^2 + y^2)^3/2
Segunda, para y:
partial Tpartial y = ddy ( 500raizx^2 + y^2 ) = -500 cdot y(x^2 + y^2)^3/2
Então, o gradiente é:
nabla T = ( -500x(x^2 + y^2)^3/2, -500y(x^2 + y^2)^3/2 )

Passo 5

Agora, queremos saber a taxa de variação da temperatura na direção do vetor v = ⟨-1, -3⟩ no ponto P₀(2, -3). Primeiro, vamos normalizar o vetor direção para torná-lo um vetor unitário:
| v | = raiz(-1)^2 + (-3)^2 = raiz1 + 9 = raiz10
Então, o vetor unitário é:
u = lang<= -1raiz10, -3raiz10 rang<=
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Du T = nabla T cdot u
Primeiro, calculamos o gradiente no ponto P₀(2, -3):
nabla T = ( -500 times 2(2^2 + (-3)^2)^3/2, -500 times (-3)(2^2 + (-3)^2)^3/2 ) = ( -1000(13)^3/2, 1500(13)^3/2 )
Simplificando:
nabla T = ( -1000raiz2197, 1500raiz2197 )
Agora, calculamos o produto escalar:
Du T = ( -1000raiz2197 ) ( -1raiz10 ) + ( 1500raiz2197 ) ( -3raiz10 )
Du T = 1000raiz2197 times raiz10 - 4500raiz2197 times raiz10 = -3500raiz2197 times raiz10
Calculando os valores numéricos aproximados:
raiz2197 approx 46.87 raiz10 approx 3.16
Então:
Du T approx -350046.87 times 3.16 approx -3500148.09 approx -23.64 graus por unidade de distância â

Resposta

O objeto irá esfriar na direção do vetor v com uma taxa aproximada de -23,64 graus por unidade de distância percorrida.

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