Uma chapa de metal aquecida, está situada no plano
de tal modo que a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância do ponto à origem. A temperatura em
é de
graus. Um objeto se encontra no ponto
. Se o objeto se mover na direção do vetor
, ele aquecerá ou esfriará? Com que taxa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma chapa de metal aquecida no plano xy, onde a temperatura em cada ponto é inversamente proporcional à distância desse ponto até a origem (0,0). Sabemos que no ponto (3,4) a temperatura é de 100 graus. Queremos descobrir se um objeto que está no ponto P₀(2, -3) vai aquecer ou esfriar quando se move na direção do vetor v = ⟨-1, -3⟩, e também qual é a taxa dessa mudança. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, como a derivada direcional e o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como está definida a temperatura na chapa. A temperatura T em qualquer ponto (x, y) é inversamente proporcional à distância desse ponto até a origem. A distância de (x, y) até a origem é dada pela fórmula:
Então, podemos escrever a temperatura como:
onde k é a constante de proporcionalidade que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar o valor de k, usamos a informação que no ponto (3,4) a temperatura é 100 graus. Vamos substituir esses valores na equação:
Resolvendo para k:
Então, a função temperatura fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o gradiente da função temperatura, que nos dará a direção de maior aumento da temperatura. O gradiente é dado por:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Primeira, para x:
Segunda, para y:
Então, o gradiente é:
Passo 5
Agora, queremos saber a taxa de variação da temperatura na direção do vetor v = ⟨-1, -3⟩ no ponto P₀(2, -3). Primeiro, vamos normalizar o vetor direção para torná-lo um vetor unitário:
Então, o vetor unitário é:
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Primeiro, calculamos o gradiente no ponto P₀(2, -3):
Simplificando:
Agora, calculamos o produto escalar:
Calculando os valores numéricos aproximados:
Então:
Resposta
O objeto irá esfriar na direção do vetor v com uma taxa aproximada de -23,64 graus por unidade de distância percorrida.