Determine a derivada das funções vetoriais. © r(t)=ln (4-t^2) i+raiz1+t j-4 e^3 t k

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função vetorial
vec r(t)=ln(4 - t^2),vec i + raiz1 + t,vec j - 4e^3t,vec k. O assunto é derivada de funções compostas ( ln e raiz) e de exponencial. Vamos usar regra do quociente e regra da cadeia para cada componente.

Passo 2

Para derivar a primeira componente x(t)=ln(4 - t^2), aplicamos a regra da cadeia: derivada de ln(u) é u'/u, com u=4 - t^2 e u'=-2t. Logo
ddtl(ln(4 - t^2)r)=-2t4 - t^2

Passo 3

Para derivar a segunda componente y(t)=raiz1 + t=(1 + t)^1/2, usamos a regra da potência e da cadeia:
ddt(1 + t)^1/2=tfrac12(1 + t)^-1/2cdot1=12raiz1 + t

Passo 4

Para derivar a terceira componente z(t)=-4e^3t, aplicamos a derivada da exponencial composta: derivada de e^3t é 3e^3t, então
ddt(-4e^3t)=-4cdot3e^3t=-12e^3t

Passo 5

Juntando essas derivadas, obtemos o vetor derivada vec r,'(t).

Resposta

[
\vec r,’(t)= -\frac{2t}{4 - t^2}\,\vec i
  • \frac{1}{2\sqrt{1 + t}}\,\vec j
  • 12 e^{3t}\,\vec k
    ]

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