Em relação ao estudo de retas
Determine uma equação paramétrica de uma reta que passa pelos pontos:
A(-1,2,-2) e (3,2,3)
Determine uma equação paramétrica de uma reta que passa pelos pontos:
A(-1,2,-2) e (3,2,3)
Passo 1
O enunciado dá dois pontos pelos quais a reta deve passar e pede uma equação paramétrica dessa reta. Informações fornecidas:
- Ponto
. - Ponto
.
O que se pede:
- Determinar uma equação paramétrica da reta que passa por
e .
Passo 2
Ideia-chave (explicação curta e intuitiva): uma reta no espaço pode ser escrita como um ponto conhecido da reta mais um múltiplo escalar de um vetor direção. Esse vetor direção pode ser obtido subtraindo as coordenadas de um ponto pelas coordenadas do outro. Vou calcular esse vetor direção a partir de
e
.
Passo 3
Cálculo do vetor direção
. Pegando as coordenadas de
menos as de
:
Agora calculamos componente a componente:
Interpretação:
aponta na direção da reta; a componente zero em
significa que a coordenada
é constante ao longo da reta.
Passo 4
Forma vetorial geral da reta (conceito): se
é o vetor posição de um ponto conhecido da reta e
é o vetor direção, então qualquer ponto da reta tem vetor posição
Aqui podemos escolher
como o vetor posição de
, ou seja
. Já temos
. Esse é o modelo que vamos usar para obter as componentes paramétricas.
Passo 5
Converter a forma vetorial para as equações de cada coordenada (mesma ideia, explicada passo a passo). Se
e
,
, então
Separando componentes: cada coordenada é a soma da coordenada inicial mais
vezes a correspondente componente de
. Assim temos (a forma paramétrica, derivada passo a passo)
Passo 6
Verificação rápida (como checar na prova): colocar
deve dar
, e colocar
deve dar
.
- Para
: que é . - Para
: que é .
Isso confirma que a parametrização está correta.
Passo 7
Observações finais e alternativas úteis para a prova:
- Pode escolher qualquer ponto da reta como
; usar daria outra parametrização equivalente (mesma reta, parâmetro deslocado). - Também é possível escrever a reta na forma simétrica eliminando
: como e . Essa forma é útil em alguns exercícios, mas a paramétrica é geralmente a mais direta para gerar pontos e integrar vetores.