Que relação existe entre a medida de um diedro e a medida do ângulo determinado por duas semirretas de mesma origem respectivamente perpendiculares às faces do diedro?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação entre a medida de um diedro e a medida do ângulo determinado por duas semirretas de mesma origem, sendo cada semirreta perpendicular à sua face do diedro.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
  • Existe um diedro, ou seja, duas semirretas (ou semiplanos) que formam duas faces que têm uma aresta em comum. Vou chamar a aresta de l.
  • Tomam-se duas semirretas com a mesma origem O (essa origem está sobre a aresta l) e cada semirreta é perpendicular à respectiva face do diedro. O que se pede é a relação entre a medida do diedro e o ângulo formado por essas duas semirretas.

Passo 2

Definições e ideias básicas (passo-a-passo, sem pular nada):
  • Um diedro é a região do espaço determinada por duas semiplanos (as faces) que se interceptam ao longo de uma reta chamada aresta. A medida do diedro é o “ângulo espacial” entre essas duas faces.
  • Para medir um diedro de forma prática costuma-se fazer o seguinte: intersectar o diedro por um plano que seja perpendicular à aresta; essa interseção produz duas semirretas no plano (uma proveniente de cada face) e o ângulo plano entre essas semirretas é a medida do diedro. Essa é a definição operacional que vamos usar para entender a relação pedida.
  • O que significa “semirreta perpendicular à face”? Se uma semirreta passa por O e é perpendicular à face (plano) \Pi, então ela é uma reta que forma ângulo reto com qualquer reta contida em \Pi que passe por O.

Passo 3

Construção geométrica concreta (para visualizar e provar a relação):
  • Escolha um ponto O na aresta l do diedro. Esse ponto serve de origem das duas semirretas pedidas.
  • Em cada face (cada plano) desenhe a semirreta que parte de O e é perpendicular à face correspondente. Chame-as de r_1 (perpendicular à face \Pi_1) e r_2 (perpendicular à face \Pi_2).

Passo 4

Mostrar que r_1 e r_2 ficam num mesmo plano perpendicular à aresta l:
  • Propriedade útil: se n é uma reta perpendicular a um plano \Pi em um ponto O, então n é perpendicular a qualquer reta de \Pi que passe por O. Em particular, como a aresta l está contida em cada face, a direção de l pertence a \Pi_1 e a \Pi_2.
  • Logo, a semirreta r_1, sendo perpendicular à \Pi_1 em O, é perpendicular também à direção de l. O mesmo vale para r_2. Portanto, ambas r_1 e r_2 são perpendiculares à aresta l.
  • Há um único plano que passa por O e é perpendicular à reta l (o plano ortogonal a l em O). Como r_1 e r_2 são ambas perpendiculares a l e passam por O, elas necessariamente pertencem a esse mesmo plano perpendicular a l. Assim, o ângulo entre r_1 e r_2 pode ser medido como um ângulo plano nesse plano perpendicular.

Passo 5

Ligar isso com a definição da medida do diedro:
  • Pela definição prática citada no Passo 2, a medida do diedro é obtida justamente cortando o diedro por um plano perpendicular à aresta l e medindo o ângulo entre as duas interseções (cada interseção é uma semirreta no plano de corte, proveniente de cada face).
  • No corte pelo plano perpendicular a l em O as interseções das faces com esse plano são precisamente as semirretas r_1 e r_2 que construímos (porque cada face intersecta o plano de corte em uma reta que passa por O; e como r_1 e r_2 são perpendiculares às faces, elas coincidem com essas interseções orientadas).
  • Portanto, o ângulo plano entre r_1 e r_2 é exatamente a medida do diedro.

Passo 6

Mostrar que a escolha do ponto O sobre a aresta não altera a medida:
  • Se escolher outro ponto O' sobre a aresta l e repetir a construção, obter-se-ão r_1' e r_2'. Os dois planos perpendiculares a l em O e em O' são paralelos, e as semirretas correspondentes são paralelas às anteriores, de modo que o ângulo entre r_1' e r_2' é o mesmo que entre r_1 e r_2.
  • Conclusão: a medida obtida é independente do ponto escolhido sobre a aresta, por isso é uma medida bem definida do diedro.

Passo 7

Resumo didático e dica prática para fazer na prova:
  • Para medir um diedro na prática, pegue um ponto O na aresta, desenhe em cada face a semirreta que parte de O e é perpendicular à face. O ângulo entre essas duas semirretas (medido no plano perpendicular à aresta) é a medida do diedro.
  • Alternativamente, pode-se também dizer que a medida do diedro é igual ao ângulo entre vetores normais às faces (ambos colocados com origem em O), porque vetores normais também são perpendiculares à aresta e ficam no mesmo plano perpendicular, produzindo o mesmo ângulo.

Resposta

A medida do diedro é igual à medida do ângulo formado por duas semirretas de mesma origem, cada uma perpendicular à sua face do diedro (essas semirretas pertencem ao plano perpendicular à aresta e o ângulo entre elas é justamente a medida do diedro).

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