Que relação existe entre a medida de um diedro e a medida do ângulo determinado por duas semirretas de mesma origem respectivamente perpendiculares às faces do diedro?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a relação entre a medida de um diedro e a medida do ângulo determinado por duas semirretas de mesma origem, sendo cada semirreta perpendicular à sua face do diedro.
Informações dadas (implícitas no enunciado):
Informações dadas (implícitas no enunciado):
- Existe um diedro, ou seja, duas semirretas (ou semiplanos) que formam duas faces que têm uma aresta em comum. Vou chamar a aresta de
. - Tomam-se duas semirretas com a mesma origem
(essa origem está sobre a aresta ) e cada semirreta é perpendicular à respectiva face do diedro. O que se pede é a relação entre a medida do diedro e o ângulo formado por essas duas semirretas.
Passo 2
Definições e ideias básicas (passo-a-passo, sem pular nada):
- Um diedro é a região do espaço determinada por duas semiplanos (as faces) que se interceptam ao longo de uma reta chamada aresta. A medida do diedro é o “ângulo espacial” entre essas duas faces.
- Para medir um diedro de forma prática costuma-se fazer o seguinte: intersectar o diedro por um plano que seja perpendicular à aresta; essa interseção produz duas semirretas no plano (uma proveniente de cada face) e o ângulo plano entre essas semirretas é a medida do diedro. Essa é a definição operacional que vamos usar para entender a relação pedida.
- O que significa “semirreta perpendicular à face”? Se uma semirreta passa por
e é perpendicular à face (plano) , então ela é uma reta que forma ângulo reto com qualquer reta contida em que passe por .
Passo 3
Construção geométrica concreta (para visualizar e provar a relação):
- Escolha um ponto
na aresta do diedro. Esse ponto serve de origem das duas semirretas pedidas. - Em cada face (cada plano) desenhe a semirreta que parte de
e é perpendicular à face correspondente. Chame-as de (perpendicular à face ) e (perpendicular à face ).
Passo 4
Mostrar que
e
ficam num mesmo plano perpendicular à aresta
:
- Propriedade útil: se
é uma reta perpendicular a um plano em um ponto , então é perpendicular a qualquer reta de que passe por . Em particular, como a aresta está contida em cada face, a direção de pertence a e a . - Logo, a semirreta
, sendo perpendicular à em , é perpendicular também à direção de . O mesmo vale para . Portanto, ambas e são perpendiculares à aresta . - Há um único plano que passa por
e é perpendicular à reta (o plano ortogonal a em ). Como e são ambas perpendiculares a e passam por , elas necessariamente pertencem a esse mesmo plano perpendicular a . Assim, o ângulo entre e pode ser medido como um ângulo plano nesse plano perpendicular.
Passo 5
Ligar isso com a definição da medida do diedro:
- Pela definição prática citada no Passo 2, a medida do diedro é obtida justamente cortando o diedro por um plano perpendicular à aresta
e medindo o ângulo entre as duas interseções (cada interseção é uma semirreta no plano de corte, proveniente de cada face). - No corte pelo plano perpendicular a
em as interseções das faces com esse plano são precisamente as semirretas e que construímos (porque cada face intersecta o plano de corte em uma reta que passa por ; e como e são perpendiculares às faces, elas coincidem com essas interseções orientadas). - Portanto, o ângulo plano entre
e é exatamente a medida do diedro.
Passo 6
Mostrar que a escolha do ponto
sobre a aresta não altera a medida:
- Se escolher outro ponto
sobre a aresta e repetir a construção, obter-se-ão e . Os dois planos perpendiculares a em e em são paralelos, e as semirretas correspondentes são paralelas às anteriores, de modo que o ângulo entre e é o mesmo que entre e . - Conclusão: a medida obtida é independente do ponto escolhido sobre a aresta, por isso é uma medida bem definida do diedro.
Passo 7
Resumo didático e dica prática para fazer na prova:
- Para medir um diedro na prática, pegue um ponto
na aresta, desenhe em cada face a semirreta que parte de e é perpendicular à face. O ângulo entre essas duas semirretas (medido no plano perpendicular à aresta) é a medida do diedro. - Alternativamente, pode-se também dizer que a medida do diedro é igual ao ângulo entre vetores normais às faces (ambos colocados com origem em
), porque vetores normais também são perpendiculares à aresta e ficam no mesmo plano perpendicular, produzindo o mesmo ângulo.
Resposta
A medida do diedro é igual à medida do ângulo formado por duas semirretas de mesma origem, cada uma perpendicular à sua face do diedro (essas semirretas pertencem ao plano perpendicular à aresta e o ângulo entre elas é justamente a medida do diedro).