Dadas três retas
e
, reversas duas a duas, como construir uma reta
, paralela a
, concorrente com
e concorrente com
? Descreva os passos.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dados: três retas
, e , que são reversas duas a duas (ou seja, cada par é de retas reversas: não se intersectam e não são paralelas — estão em posições gerais no espaço). - Pedido: construir uma reta
que seja paralela a e, ao mesmo tempo, que seja concorrente com e concorrente com (isto é, que intersecte tanto quanto ).
Passo 2
Entendendo a ideia geométrica básica (sem ainda construir nada).
- Como
e são reversas, não é paralela a . Isso garante que, ao tomar uma reta qualquer através de um ponto de paralela a , essa reta não será paralela a (logo, no plano que contiver e essa reta paralela a , essas duas retas se cortam). - Portanto existe um plano único que contém
e que é paralelo a : basta tomar uma reta através de um ponto de paralela a e o plano é o determinado por e essa reta. Chamo esse plano de . - Analogamente existe um plano
que contém e é paralelo a . - A interseção das duas planícies
e é uma reta . Porque ambas as planícies são paralelas a , a reta será paralela a . Além disso, pertence a (logo está no mesmo plano que ) e, dentro desse plano, como não é paralela a , a reta intersecta ; mesmo raciocínio para . Assim tem as propriedades desejadas.
Passo 3
Plano prático de construção (resumo antes dos passos concretos).
- Construir um plano
que contenha e seja paralelo a . - Construir um plano
que contenha e seja paralelo a . - Tomar
. Esta reta é paralela a e intersecta e .
Passo 4
Como, passo a passo, construir o plano
. (Vou explicar de forma que dê para executar com régua e esquadro imaginários no espaço ou num modelo.)
- Escolher dois pontos distintos
e sobre a reta . (Qualquer dois pontos servem, desde que distintos.) - Por
, traçar a reta paralela a . Isto significa: construir uma reta passando por que tenha a mesma direção de . (Como e são reversas, a direção de não é paralela à direção de , então a reta não será paralela a .) - Por
, opcionalmente traçar a reta paralela a (não é estritamente necessário se já se tem , mas fazer dá mais segurança construtiva). - O plano
é o plano determinado pelas retas e (ou, se desenhou , pelo triângulo formado por e a direção de ). Formalmente: é o único plano que contém e a reta paralela a .
Passo 5
Construir o plano
pela mesma receita.
- Escolher dois pontos distintos
e sobre a reta . - Por
(e por , se quiser checar), traçar retas (e ) paralelas a . - O plano
é o plano que contém e a reta (ou ).
Passo 6
Determinar a reta
como interseção das duas planícies.
- As planícies
e são duas planícies distintas que são cada uma paralela a . A interseção de duas planícies no espaço é uma reta (se não forem coincidentes e não forem paralelas entre si). Aqui elas não coincidem porque, se coincidissem, isso significaria que e estariam no mesmo plano paralelo a e, sendo ambas paralelas a , isso forçaria uma relação entre e que contradiz o fato de serem reversas. Logo é de fato uma reta. Denomei essa reta por . - Como
e são ambas paralelas a , a reta (que está em ambas) é paralela a . - Como
e , e em a reta paralela a não é paralela a (pois não é paralela a ), segue que intercepta . Mesmo argumento em mostra que intercepta .
Passo 7
Verificação de unicidade e observações finais.
- Unicidade: o plano através de
paralelo a é único; idem para . Assim a interseção é uma única reta . Portanto a construção dá uma única solução. - Observação prática: para construir na prática (modelo físico ou desenho), é suficiente traçar por dois pontos de
(e por dois pontos de ) reta(s) paralela(s) a , identificar os dois planos gerados e traçar a reta de interseção. Em desenho técnico isso é feito projetando as direções iguais de a partir de pontos em e .
Resposta
A reta
é a interseção
, onde
é o plano que contém
e é paralelo a
e
é o plano que contém
e é paralelo a
.