Dadas três retas r, s e t, reversas duas a duas, como construir uma reta x, paralela a t, concorrente com r e concorrente com s ? Descreva os passos.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: três retas r, s e t, que são reversas duas a duas (ou seja, cada par é de retas reversas: não se intersectam e não são paralelas — estão em posições gerais no espaço).
  • Pedido: construir uma reta x que seja paralela a t e, ao mesmo tempo, que seja concorrente com r e concorrente com s (isto é, que intersecte tanto r quanto s).

Passo 2

Entendendo a ideia geométrica básica (sem ainda construir nada).
  • Como r e t são reversas, r não é paralela a t. Isso garante que, ao tomar uma reta qualquer através de um ponto de r paralela a t, essa reta não será paralela a r (logo, no plano que contiver r e essa reta paralela a t, essas duas retas se cortam).
  • Portanto existe um plano único que contém r e que é paralelo a t: basta tomar uma reta através de um ponto de r paralela a t e o plano é o determinado por r e essa reta. Chamo esse plano de \pi_r.
  • Analogamente existe um plano \pi_s que contém s e é paralelo a t.
  • A interseção das duas planícies \pi_r e \pi_s é uma reta x. Porque ambas as planícies são paralelas a t, a reta x=\pi_r\cap\pi_s será paralela a t. Além disso, x pertence a \pi_r (logo está no mesmo plano que r) e, dentro desse plano, como r não é paralela a t, a reta x intersecta r; mesmo raciocínio para s. Assim x tem as propriedades desejadas.

Passo 3

Plano prático de construção (resumo antes dos passos concretos).
  • Construir um plano \pi_r que contenha r e seja paralelo a t.
  • Construir um plano \pi_s que contenha s e seja paralelo a t.
  • Tomar x=\pi_r\cap\pi_s. Esta reta é paralela a t e intersecta r e s.

Passo 4

Como, passo a passo, construir o plano \pi_r. (Vou explicar de forma que dê para executar com régua e esquadro imaginários no espaço ou num modelo.)
  1. Escolher dois pontos distintos A e B sobre a reta r. (Qualquer dois pontos servem, desde que distintos.)
  2. Por A, traçar a reta a paralela a t. Isto significa: construir uma reta passando por A que tenha a mesma direção de t. (Como r e t são reversas, a direção de t não é paralela à direção de r, então a reta a não será paralela a r.)
  3. Por B, opcionalmente traçar a reta b paralela a t (não é estritamente necessário se já se tem a, mas fazer b dá mais segurança construtiva).
  4. O plano \pi_r é o plano determinado pelas retas r e a (ou, se desenhou b, pelo triângulo formado por A,B e a direção de t). Formalmente: \pi_r é o único plano que contém r e a reta a paralela a t.

Passo 5

Construir o plano \pi_s pela mesma receita.
  1. Escolher dois pontos distintos C e D sobre a reta s.
  2. Por C (e por D, se quiser checar), traçar retas c (e d) paralelas a t.
  3. O plano \pi_s é o plano que contém s e a reta c (ou d).

Passo 6

Determinar a reta x como interseção das duas planícies.
  • As planícies \pi_r e \pi_s são duas planícies distintas que são cada uma paralela a t. A interseção de duas planícies no espaço é uma reta (se não forem coincidentes e não forem paralelas entre si). Aqui elas não coincidem porque, se coincidissem, isso significaria que r e s estariam no mesmo plano paralelo a t e, sendo ambas paralelas a t, isso forçaria uma relação entre r e s que contradiz o fato de serem reversas. Logo \pi_r\cap\pi_s é de fato uma reta. Denomei essa reta por x.
  • Como \pi_r e \pi_s são ambas paralelas a t, a reta x (que está em ambas) é paralela a t.
  • Como x\subset\pi_r e r\subset\pi_r, e em \pi_r a reta paralela a t não é paralela a r (pois r não é paralela a t), segue que x intercepta r. Mesmo argumento em \pi_s mostra que x intercepta s.

Passo 7

Verificação de unicidade e observações finais.
  • Unicidade: o plano através de r paralelo a t é único; idem para s. Assim a interseção \pi_r\cap\pi_s é uma única reta x. Portanto a construção dá uma única solução.
  • Observação prática: para construir na prática (modelo físico ou desenho), é suficiente traçar por dois pontos de r (e por dois pontos de s) reta(s) paralela(s) a t, identificar os dois planos gerados e traçar a reta de interseção. Em desenho técnico isso é feito projetando as direções iguais de t a partir de pontos em r e s.

Resposta

A reta x é a interseção \pi_r\cap\pi_s, onde \pi_r é o plano que contém r e é paralelo a t e \pi_s é o plano que contém s e é paralelo a t.

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