Qual a relação existente entre as equações dos carregamentos, do esforço cortante e do momento fletor?

Passo 1

O enunciado quer a relação diferencial entre o carregamento distribuído q(x), o esforço cortante V(x) e o momento fletor M(x) em uma viga. O conteúdo é o equilíbrio estático diferencial aplicado a um elemento infinitesimal de comprimento \mathrm{d}x.

Passo 2

Aplique o equilíbrio de forças verticais num elemento de viga de comprimento \mathrm{d}x. Chamando de V(x) o esforço cortante em x e de q(x) a carga distribuída (força por comprimento, positiva para baixo), temos
V(x+\mathrm{d}x) - V(x) - q(x)\,\mathrm{d}x = 0.
Dividindo por \mathrm{d}x e fazendo \mathrm{d}x\to0, chega-se a
\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -\,q(x).

Passo 3

Agora aplique o equilíbrio de momentos em relação ao ponto x. Tomando sinais no sentido positivo (por convenção, momento fletor positivo gera concavidade para cima), escrevemos
M(x+\mathrm{d}x) - M(x) - V(x)\,\mathrm{d}x = 0
(termos de ordem (\mathrm{d}x)^2 são desprezíveis). Dividindo por \mathrm{d}x e fazendo o limite, obtém-se
\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = V(x).

Passo 4

Juntando as duas equações diferenciais temos também, ao derivar \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}=V(x),
\frac{\mathrm{d}^2M}{\mathrm{d}x^2} \;=\;\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} \;=\;-\,q(x).

Resposta

\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -\,q(x), \qquad \frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} = V(x), \qquad \frac{\mathrm{d}^2M}{\mathrm{d}x^2} = -\,q(x).

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