Com relação às Forças hidráulicas sobre superfícies submersas e empuxo assinale a alternativa correta:
a) A força hidráulica sobre uma superfície submersa plana inclinada tem magnitude diferente ao longo da superfície e sua linha de ação passa pelo centroide da área, localizado sempre abaixo do centro das pressões.
b) A força hidráulica sobre uma superfície submersa plana horizontal tem mesma magnitude em toda a superfície e sua linha de ação passa pelo centro das pressões da área, localizado sempre acima do centroide.
c) A força hidráulica sobre uma superfície submersa curva possui uma componente horizontal correspondente ao peso de líquido acima da superfície.
d) A força hidráulica sobre uma superfície submersa plana inclinada tem magnitude igual ao produto da pressão no centroide pela área da superfície e sua linha de ação passa pelo centro das pressões da área, localizado sempre abaixo do centroide
e) A força hidráulica sobre uma superfície submersa curva possui uma componente vertical correspondente à força atuante sobre a projeção da superfície em um plano vertical.

Passo 1

O enunciado pede: dentre as alternativas (a) a (e) sobre forças hidrostáticas em superfícies submersas e empuxo, assinalar a alternativa correta.
As alternativas dizem, em resumo:
  • (a) fala que a força em uma superfície plana inclinada varia ao longo da superfície e que a linha de ação passa pelo centroid, que estaria sempre abaixo do centro de pressões.
  • (b) fala que em superfície plana horizontal a pressão é a mesma em toda a superfície e que a linha de ação passa pelo centro de pressões, que estaria sempre acima do centroide.
  • (c) afirma que, para superfície curva, a componente horizontal da força corresponde ao peso do líquido acima da superfície.
  • (d) afirma que, para superfície plana inclinada, a magnitude da força é igual à pressão no centroide vezes a área e que a linha de ação passa pelo centro de pressões, localizado sempre abaixo do centroide.
  • (e) afirma que, para superfície curva, a componente vertical da força corresponde à força atuante sobre a projeção da superfície em um plano vertical.

Passo 2

Conceitos fundamentais (curtinho e direto) que vamos usar — explicados como se estivéssemos estudando para a prova:
  • Pressão hidrostática: a pressão em um ponto abaixo de uma superfície livre varia com a profundidade. A fórmula é
p = \rho g h,
onde \rho é a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade e h a profundidade vertical desse ponto medida a partir da superfície livre. Isso significa que quanto maior h, maior p.
  • Força resultante sobre uma superfície: a força hidrostática resultante \mathbf{R} sobre uma área A é a integração da pressão sobre a área:
\mathbf{R}=\iint_{A} p\,\mathbf{n}\,dA,
onde \mathbf{n} é a normal à superfície. Para superfícies planas inclinadas, a componente normal (magnitude) é o que normalmente chamamos de “força sobre a superfície”.
  • Centroide da área: é o ponto geométrico médio da área; coordenada vertical do centroide chamo de y_c (profundidade do centroide).
  • Centro de pressão: ponto onde a resultante da distribuição de pressão age (linha de ação). Para uma superfície plana, o centro de pressão fica mais profundo que o centroide porque a pressão cresce com h.

Passo 3

Resultado-chave para superfície plana (fórmula e explicação):
  • A magnitude da força hidrostática sobre uma superfície plana inclinada é igual à pressão no centroide multiplicada pela área. Em símbolos:
R = p_c\,A,
onde p_c=\rho g y_c é a pressão no centroide (profundidade \;y_c\; medida do nível livre) e A é a área da superfície. Por que isso é verdade? Porque a pressão varia linearmente com a profundidade; a média da pressão sobre a área plana coincide com a pressão no centroide, logo integral da pressão sobre A é p_c A. Exemplo rápido: se a pressão varia linearmente de p_1 a p_2 numa dimensão, a média é (p_1+p_2)/2; para uma área, o análogo dá a pressão no centroide.
  • A linha de ação dessa resultante passa pelo centro de pressão, cujo deslocamento vertical (medido a partir da superfície livre) para uma superfície plana é dado por
y_p = y_c + \frac{I_{x,c}}{y_c A},
onde y_p é a profundidade do centro de pressão, I_{x,c} é o momento de inércia da área em relação a um eixo horizontal que passa pelo centroide (ou seja, segundo momento de área em relação ao eixo centroidal horizontal). Note que \dfrac{I_{x,c}}{y_c A} é positivo, então y_p>y_c: o centro de pressão fica sempre mais profundo (abaixo) que o centroide. Interpretação: como a pressão aumenta com a profundidade, o “braço” da força é deslocado para baixo.

Passo 4

Aplicando isso às alternativas que mencionam superfícies planas:
  • A alternativa (d) afirma exatamente que a magnitude é p_c A e que a linha de ação passa pelo centro de pressões, localizado sempre abaixo do centroide. Pelo que vimos, isso é correto: R=p_c A e y_p>y_c. Portanto (d) parece correta.
  • Verificação das alternativas (a) e (b) para eliminar confusões:
    • (a) diz que a força “tem magnitude diferente ao longo da superfície” (isso é confuso: a pressão varia, mas a força resultante tem uma magnitude única — não faz sentido dizer que a força resultante tem magnitude diferente ao longo da superfície) e ainda afirma que “a linha de ação passa pelo centroide, localizado sempre abaixo do centro das pressões”. Isso está errado: a linha de ação não passa pelo centroide (passa pelo centro de pressão) e o centroide não está abaixo do centro de pressão — é o contrário. Logo (a) é falsa.
    • (b) para superfície horizontal: a pressão em toda a superfície horizontal submersa à mesma profundidade é constante, então a pressão é a mesma em todos os pontos e a força total é pA. Porém o centro de pressão coincide com o centroide (porque a distribuição é uniforme) — não está “sempre acima do centroide”. Logo a parte que diz “localizado sempre acima do centroide” é falsa. Portanto (b) é falsa.

Passo 5

Resultados para superfícies curvas — explicação didática e simples:
  • Para superfícies curvas, decompomos a resultante \mathbf{R} em componentes horizontal \;R_h\; e vertical \;R_v\;.
  • Teorema prático e muito usado (decore/prove no papel): a componente horizontal da força sobre uma superfície curva é igual à força resultante que atuaria sobre a projeção vertical da superfície. Em palavras: olhe para a sombra vertical da superfície (projeção sobre um plano vertical); calcule a força sobre essa projeção como se fosse uma superfície plana vertical — esse é R_h.
  • A componente vertical da força sobre a superfície curva é igual à força resultante que atuaria sobre a projeção horizontal da superfície. Em particular, se acima da superfície curva existe fluido até a superfície livre sem outros obstáculos, então R_v equivale ao peso do fluido acima da superfície curva (porque a força sobre a projeção horizontal corresponde à pressão vertical integrada, que resulta no peso do fluido contido). Resumindo:
    • R_h → força sobre a projeção vertical.
    • R_v → força sobre a projeção horizontal (que, em muitos casos com superfície livre acima, corresponde ao peso do líquido acima da superfície curva).
  • Com isso verificamos as alternativas (c) e (e):
    • (c) dizia que a componente horizontal corresponde ao peso do líquido acima da superfície: isso está invertido. O peso do líquido acima está relacionado à componente vertical, não à horizontal. Logo (c) é falsa.
    • (e) dizia que a componente vertical corresponde à força atuante sobre a projeção em um plano vertical: também invertido — a componente vertical corresponde à projeção horizontal. Então (e) é falsa.

Passo 6

Conclusão: a única alternativa que está correta em todos os pontos (magnitude igual a p_c A para superfície plana inclinada; linha de ação pelo centro de pressões que fica abaixo do centroide) é a alternativa (d).

Resposta

(d)

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