Qual é a relação entre os limites laterais e o limite no ponto
?
Passo 1
O que o enunciado pergunta: qual é a relação entre os limites laterais (ou seja, os limites pela esquerda e pela direita) e o limite no ponto
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Quer saber como o limite geral
se relaciona com os limites laterais e . - Não há dados numéricos; a pergunta é de caráter teórico/prático.
Passo 2
Definição do limite lateral pela esquerda (intuição e forma precisa).
Intuição curta:
significa que, quando
se aproxima de
vindo dos valores menores que
(pela esquerda), os valores de
se aproximam de
.
Forma precisa (epsilon–delta para limite pela esquerda): dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
então
Explicando: escolhe-se qualquer tolerância
para a distância em
; existe um intervalo à esquerda de
onde todos os
caem dentro dessa tolerância.
Passo 3
Definição do limite lateral pela direita (intuição e forma precisa).
Intuição curta:
significa que, quando
se aproxima de
vindo de valores maiores que
(pela direita),
aproxima-se de
.
Forma precisa: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
então
Passo 4
Definição do limite bidirecional (comum) no ponto e sua forma precisa.
Intuição curta:
significa que, quando
se aproxima de
por qualquer lado (direita ou esquerda), os valores de
aproximam-se de
.
Forma precisa: dizemos que
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
então
Observação: o
em
exclui o caso
(o limite é sobre pontos diferentes de
).
Passo 5
Enunciado da relação básica (teorema) e ideia da prova.
Teorema (forma direta):
se, e somente se,
Ideia da prova em duas partes:
- Se
então tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita obrigatoriamente dão . (Porque a condição para o limite bidirecional exige a mesma aproximação para todos os próximos de , independentemente do lado.) - Se
e , então existe que funciona para ambos os lados (pegar o mínimo dos dois deltas) e, assim, a condição para é satisfeita.
Passo 6
Prova rigorosa (epsilon–delta) da implicação inversa (a parte que normalmente exige construção).
Suponha que
Então, para qualquer
, existem
e
tais que:
- Se
então . - Se
então .
Tome
. Então, sempre que
, ou
está à esquerda com
ou está à direita com
. Em ambos os casos temos
. Isso mostra que
A outra direção (limite bidirecional implica limites laterais iguais) é imediata: a condição com
já vale para pontos à esquerda e à direita separadamente.
Passo 7
Consequências práticas e exemplos rápidos (como reconhecer na prova).
- Se
e existem e são iguais a um mesmo número , então . Na prática: calcule os dois limites laterais; se derem o mesmo valor, pronto — esse é o limite bidirecional. - Se os dois limites laterais existem mas são diferentes, então
não existe. Exemplo clássico: função sinal em : e , logo não existe. - Se um dos limites laterais não existe (por oscilar ou tender a infinito), o limite bidirecional também não existe, salvo no caso especial em que ambos tendem ao mesmo tipo de infinito (por exemplo, se
e , então se costuma dizer que ). Mas atenção: achar não é o mesmo que existir limite finito. - Limite e continuidade: a função
é contínua em se, e somente se, existe e vale . Em termos laterais, isso equivale a as duas laterais existirem, serem iguais entre si e iguais a .
Passo 8
Receita prática para uma prova (passos concretos que dá para decorar e aplicar sem complicação):
- Calcule
. Use substituições, simplificações algébricas, factorização, mudança de variável, ou análise de comportamento. - Calcule
com o mesmo cuidado. - Compare os resultados:
- Se são iguais a um mesmo número
, então . - Se são diferentes (ou um diverge), então
não existe (exceto o caso em que ambos tendem ao mesmo infinito, quando se diz que o limite é esse infinito).
- Se são iguais a um mesmo número
- Se a questão pedir continuidade, verifique ainda se
está definido e é igual a esse .
Passo 9
Lembretes úteis e erros comuns (para não perder ponto):
- Não confundir valor da função em
com limite em : limite é comportamento ao se aproximar, não o valor no ponto. - Sempre verificar os dois lados; não basta saber apenas um lado.
- Quando a função é dada por uma expressão única sem quebra, normalmente os limites laterais coincidem e dá para calcular direto; quando há definição por partes (piecewise) é obrigatório checar os dois lados.
- Em provas, justificar a igualdade das duas laterais pode ser feito com argumentos algébricos ou com o argumento
– resumido como mostrado acima (usar mínimos de ).
Resposta
Se as laterais existem e são iguais, o limite no ponto existe e é esse valor; se as laterais são diferentes (ou uma não existe), o limite no ponto não existe.