Qual é a relação entre os limites laterais e o limite no ponto x=x_{0} ?

Passo 1

O que o enunciado pergunta: qual é a relação entre os limites laterais (ou seja, os limites pela esquerda e pela direita) e o limite no ponto \,x=x_{0}\,.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Quer saber como o limite geral \lim_{x\to x_{0}} f(x) se relaciona com os limites laterais \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x) e \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x).
  • Não há dados numéricos; a pergunta é de caráter teórico/prático.

Passo 2

Definição do limite lateral pela esquerda (intuição e forma precisa).
Intuição curta: \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=L significa que, quando x se aproxima de x_{0} vindo dos valores menores que x_{0} (pela esquerda), os valores de f(x) se aproximam de L.
Forma precisa (epsilon–delta para limite pela esquerda): dizemos que
\lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que
x_{0}-\delta < x < x_{0},
então
|f(x)-L|<\varepsilon.
Explicando: escolhe-se qualquer tolerância \varepsilon para a distância em y; existe um intervalo à esquerda de x_{0} onde todos os f(x) caem dentro dessa tolerância.

Passo 3

Definição do limite lateral pela direita (intuição e forma precisa).
Intuição curta: \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=L significa que, quando x se aproxima de x_{0} vindo de valores maiores que x_{0} (pela direita), f(x) aproxima-se de L.
Forma precisa: dizemos que
\lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que
x_{0} < x < x_{0}+\delta,
então
|f(x)-L|<\varepsilon.

Passo 4

Definição do limite bidirecional (comum) no ponto e sua forma precisa.
Intuição curta: \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L significa que, quando x se aproxima de x_{0} por qualquer lado (direita ou esquerda), os valores de f(x) aproximam-se de L.
Forma precisa: dizemos que
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=L
se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que
0<|x-x_{0}|<\delta,
então
|f(x)-L|<\varepsilon.
Observação: o 0< em 0<|x-x_{0}|<\delta exclui o caso x=x_{0} (o limite é sobre pontos diferentes de x_{0}).

Passo 5

Enunciado da relação básica (teorema) e ideia da prova.
Teorema (forma direta): \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L se, e somente se,
\lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=L.
Ideia da prova em duas partes:
  1. Se \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L então tanto a aproximação pela esquerda quanto pela direita obrigatoriamente dão L. (Porque a condição para o limite bidirecional exige a mesma aproximação para todos os x próximos de x_{0}, independentemente do lado.)
  2. Se \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=L e \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=L, então existe \delta que funciona para ambos os lados (pegar o mínimo dos dois deltas) e, assim, a condição para \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L é satisfeita.

Passo 6

Prova rigorosa (epsilon–delta) da implicação inversa (a parte que normalmente exige construção).
Suponha que
\lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=L \quad\text{e}\quad \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=L.
Então, para qualquer \varepsilon>0, existem \delta_{1}>0 e \delta_{2}>0 tais que:
  • Se x_{0}-\delta_{1} < x < x_{0} então |f(x)-L|<\varepsilon.
  • Se x_{0} < x < x_{0}+\delta_{2} então |f(x)-L|<\varepsilon.
Tome \delta=\min(\delta_{1},\delta_{2}). Então, sempre que 0<|x-x_{0}|<\delta, ou x está à esquerda com x_{0}-\delta<x<x_{0} ou está à direita com x_{0}<x<x_{0}+\delta. Em ambos os casos temos |f(x)-L|<\varepsilon. Isso mostra que
\lim_{x\to x_{0}} f(x)=L.
A outra direção (limite bidirecional implica limites laterais iguais) é imediata: a condição com 0<|x-x_{0}|<\delta já vale para pontos à esquerda e à direita separadamente.

Passo 7

Consequências práticas e exemplos rápidos (como reconhecer na prova).
  • Se \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x) e \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x) existem e são iguais a um mesmo número L, então \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L. Na prática: calcule os dois limites laterais; se derem o mesmo valor, pronto — esse é o limite bidirecional.
  • Se os dois limites laterais existem mas são diferentes, então \lim_{x\to x_{0}} f(x) não existe. Exemplo clássico: função sinal \operatorname{sgn}(x) em x_{0}=0: \lim_{x\to 0^{-}}\operatorname{sgn}(x)=-1 e \lim_{x\to 0^{+}}\operatorname{sgn}(x)=+1, logo \lim_{x\to 0}\operatorname{sgn}(x) não existe.
  • Se um dos limites laterais não existe (por oscilar ou tender a infinito), o limite bidirecional também não existe, salvo no caso especial em que ambos tendem ao mesmo tipo de infinito (por exemplo, se \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=+\infty e \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=+\infty, então se costuma dizer que \lim_{x\to x_{0}} f(x)=+\infty). Mas atenção: achar \pm\infty não é o mesmo que existir limite finito.
  • Limite e continuidade: a função f é contínua em x_{0} se, e somente se, \lim_{x\to x_{0}} f(x) existe e vale f(x_{0}). Em termos laterais, isso equivale a as duas laterais existirem, serem iguais entre si e iguais a f(x_{0}).

Passo 8

Receita prática para uma prova (passos concretos que dá para decorar e aplicar sem complicação):
  1. Calcule \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x). Use substituições, simplificações algébricas, factorização, mudança de variável, ou análise de comportamento.
  2. Calcule \lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x) com o mesmo cuidado.
  3. Compare os resultados:
    • Se são iguais a um mesmo número L, então \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L.
    • Se são diferentes (ou um diverge), então \lim_{x\to x_{0}} f(x) não existe (exceto o caso em que ambos tendem ao mesmo infinito, quando se diz que o limite é esse infinito).
  4. Se a questão pedir continuidade, verifique ainda se f(x_{0}) está definido e é igual a esse L.

Passo 9

Lembretes úteis e erros comuns (para não perder ponto):
  • Não confundir valor da função em x_{0} com limite em x_{0}: limite é comportamento ao se aproximar, não o valor no ponto.
  • Sempre verificar os dois lados; não basta saber apenas um lado.
  • Quando a função é dada por uma expressão única sem quebra, normalmente os limites laterais coincidem e dá para calcular direto; quando há definição por partes (piecewise) é obrigatório checar os dois lados.
  • Em provas, justificar a igualdade das duas laterais pode ser feito com argumentos algébricos ou com o argumento \varepsilon \delta resumido como mostrado acima (usar mínimos de \delta).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to x_{0}} f(x)=L \iff \lim_{x\to x_{0}^{-}} f(x)=\lim_{x\to x_{0}^{+}} f(x)=L.
Se as laterais existem e são iguais, o limite no ponto existe e é esse valor; se as laterais são diferentes (ou uma não existe), o limite no ponto não existe.

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