Verifique que a seguinte afirmação é verdadeira: se uma função não é contínua num ponto x=a então esta função não é diferenciável no ponto x=a.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a seguinte afirmação: "se uma função não é contínua num ponto x=a então esta função não é diferenciável no ponto x=a".
Informações dadas:
  • Há uma função f.
  • Em x=a, a função f não é contínua (ou seja, f falha em satisfazer a definição de continuidade em a).
    O objetivo é mostrar que, sob essa hipótese, f também não é diferenciável em x=a.

Passo 2

Definição precisa de diferenciabilidade (o que significa "ser diferenciável em a"):
A função f é diferenciável em a se existir o limite
\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},
e esse limite for um número finito. Quando existe, chamamos esse número de f'(a), a derivada de f em a.
Explicando devagar: aqui h é uma variável que representa um pequeno deslocamento a partir de a; a expressão \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} é a razão de variação média de f entre a e a+h. Para ser diferenciável, essa razão de variação deve tender a um único número quando h vai para zero (pela direita e pela esquerda).

Passo 3

Definição precisa de continuidade em a:
A função f é contínua em a se
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Usando a mudança x=a+h, isso é equivalente a
\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a).
Explicando: continuidade diz que, quando nos aproximamos de a, os valores f(x) se aproximam de f(a).

Passo 4

Estratégia do contraexemplo lógico (contrapositiva): em vez de provar diretamente “se não contínua então não diferenciável”, é mais limpo provar a contrapositiva lógica: “se diferenciável então contínua”. Provar a contrapositiva é equivalente e costuma ser mais direto.
Portanto, suponha que f seja diferenciável em a. Isso significa que existe o número finito
\ell=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Agora, manipule a diferença f(a+h)-f(a):
f(a+h)-f(a)=h\cdot\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Tome o limite quando h\to 0 dos dois lados. Pelas regras de limite (produto de limites quando os limites existem e um é finito),
\lim_{h\to 0}\bigl(f(a+h)-f(a)\bigr) =\lim_{h\to 0} h \cdot \frac{f(a+h)-f(a)}{h} =\left(\lim_{h\to 0} h\right)\cdot\left(\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\right) =0\cdot\ell=0.
Portanto
\lim_{h\to 0} f(a+h)=f(a).
Isso é exatamente a definição de continuidade em a. Concluímos: se f é diferenciável em a então f é contínua em a.

Passo 5

Concluindo a contrapositiva: a afirmação “se diferenciável então contínua” é verdadeira, logo sua contrapositiva “se não contínua então não diferenciável” também é verdadeira. Assim a afirmação do enunciado está verificada.
Observações e intuição (pra te deixar confiante):
  • Intuitivamente: derivada mede uma taxa de variação instantânea; para essa taxa existir, os valores da função perto de a\) têm de se aproximar de um valor único \(f(a)\). Se a função "salta" ou tem comportamento incerto em \(a\), não dá para ter uma taxa de variação bem definida. - Exemplo simples: considere \[f(x)=\begin{cases}0,&x\neq 0,\\[4pt]1,&x=0.\end{cases}
Aqui f\] não é contínua em \(0 porque \lim_{x\to 0} f(x)=0\neq f(0)=1. A razão de variação para x\neq0 é \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\dfrac{0-1}{x}=-\dfrac{1}{x}, que não tem limite quando x\to 0. Logo f não é diferenciável em 0. Isso ilustra o que provamos de forma geral.
  • Observação técnica: aqui usamos a definição padrão de derivada que exige um limite finito. Se alguém falar em “derivada infinita” (por exemplo vertical tangente), isso não conta como diferenciabilidade no sentido usual; diferenciável exige número finito.]

Resposta

Verdadeiro.

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