Verifique que a seguinte afirmação é verdadeira: se uma função não é contínua num ponto
então esta função não é diferenciável no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a seguinte afirmação: "se uma função não é contínua num ponto
então esta função não é diferenciável no ponto
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- Há uma função
. - Em
, a função não é contínua (ou seja, falha em satisfazer a definição de continuidade em ).
O objetivo é mostrar que, sob essa hipótese,também não é diferenciável em .
Passo 2
Definição precisa de diferenciabilidade (o que significa "ser diferenciável em
"):
A função é diferenciável em
se existir o limite
A função
e esse limite for um número finito. Quando existe, chamamos esse número de
, a derivada de
em
.
Explicando devagar: aqui é uma variável que representa um pequeno deslocamento a partir de
; a expressão
é a razão de variação média de
entre
e
. Para ser diferenciável, essa razão de variação deve tender a um único número quando
vai para zero (pela direita e pela esquerda).
Explicando devagar: aqui
Passo 3
Definição precisa de continuidade em
:
A função é contínua em
se
A função
Usando a mudança
, isso é equivalente a
Explicando: continuidade diz que, quando nos aproximamos de
, os valores
se aproximam de
.
Passo 4
Estratégia do contraexemplo lógico (contrapositiva): em vez de provar diretamente “se não contínua então não diferenciável”, é mais limpo provar a contrapositiva lógica: “se diferenciável então contínua”. Provar a contrapositiva é equivalente e costuma ser mais direto.
Portanto, suponha que
seja diferenciável em
. Isso significa que existe o número finito
Agora, manipule a diferença
:
Tome o limite quando
dos dois lados. Pelas regras de limite (produto de limites quando os limites existem e um é finito),
Portanto
Isso é exatamente a definição de continuidade em
. Concluímos: se
é diferenciável em
então
é contínua em
.
Passo 5
Concluindo a contrapositiva: a afirmação “se diferenciável então contínua” é verdadeira, logo sua contrapositiva “se não contínua então não diferenciável” também é verdadeira. Assim a afirmação do enunciado está verificada.
Observações e intuição (pra te deixar confiante):
- Intuitivamente: derivada mede uma taxa de variação instantânea; para essa taxa existir, os valores da função perto de
Aqui
porque
. A razão de variação para
é
, que não tem limite quando
. Logo
não é diferenciável em
. Isso ilustra o que provamos de forma geral.
- Observação técnica: aqui usamos a definição padrão de derivada que exige um limite finito. Se alguém falar em “derivada infinita” (por exemplo vertical tangente), isso não conta como diferenciabilidade no sentido usual; diferenciável exige número finito.]
Resposta
Verdadeiro.