\sum_{n=1}^{∞} \frac{\cos π n}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos \pi n}{\sqrt{n}}
e pede que a somemos (ou, pelo menos, que identifiquemos o valor a que essa série converge). As informações relevantes que temos são:
  • o termo geral é \dfrac{\cos \pi n}{\sqrt{n}} para n=1,2,3,\dots;
  • a soma é sobre todos os inteiros positivos n;
  • não há imagem ou dado adicional.
O que me pediram implicitamente: avaliar a convergência e calcular o valor da série.

Passo 2

Simplificar o termo trigonométrico. Lembrando uma identidade simples da trigonometria discreta:
\cos \pi n = (-1)^n \quad\text{para todo } n\in\mathbb{Z}.
Portanto a série fica
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Verificar convergência (parte didática: como fazer isso na prova).
  • Teste de convergência absoluta: considere a série dos módulos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}.
Isto é uma série p (série do tipo \sum n^{-p}) com p=\tfrac{1}{2}. Sabemos que uma série p converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
diverge. Conclusão: a série original não converge absolutamente.
  • Teste de Leibniz (série alternante): para a série alternante \sum (-1)^{n} a_n com a_n\ge0, se a_n é decrescente e a_n\to0 então a série converge. Aqui tome a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Observa-se que a_{n+1}<a_n (porque \dfrac{1}{\sqrt{n}} decresce) e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Assim, pela regra de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
converge. Como não é absolutamente convergente, ela converge condicionalmente.

Passo 4

Identificar a série como uma função zeta alternante (explicação didática).
Defina, para s\in\mathbb{C} com \Re(s)>0, a função de Dirichlet-eta
\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n^{s}}.
Note que a nossa série é quase \eta, apenas com um sinal diferente: temos (-1)^n em vez de (-1)^{n-1}. Logo
S=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n^{1/2}}=-\eta\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Agora uma relação útil entre \eta e a função zeta de Riemann \zeta é
\eta(s)=\bigl(1-2^{\,1-s}\bigr)\zeta(s).
Explicação curta de onde vem essa identidade (modo que se usa em prova): escrevendo \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s} e separando termos pares e ímpares obtém-se a relação para \Re(s)>1 e a identidade estende-se por continuação analítica para outros s onde \zeta(s) é definido. Para nosso propósito prático em s=\tfrac{1}{2} usamos a identidade como conhecida/aceita (ela vale a partir da continuidade das funções envolvidas).

Passo 5

Aplicar a identidade em s=\tfrac{1}{2}. Primeiro calcule o fator:
1-2^{\,1-s}\Big|_{s=\tfrac{1}{2}}=1-2^{\,1-\tfrac{1}{2}}=1-2^{1/2}=1-\sqrt{2}.
Portanto
\eta\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\bigl(1-\sqrt{2}\bigr)\zeta\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Lembrando que S=-\eta\!\left(\tfrac{1}{2}\right), obtemos
S= -\bigl(1-\sqrt{2}\bigr)\zeta\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\zeta\!\left(\tfrac{1}{2}\right).
Esta é uma forma exata e muito simples em termos de \zeta(\tfrac{1}{2}).

Passo 6

Valor numérico (útil na hora de conferir no rascunho da prova). A constante \zeta\!\left(\tfrac{1}{2}\right) é conhecida numericamente:
\zeta\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\approx -1{,}4603545088\ldots
e \sqrt{2}-1\approx 0{,}4142135624\ldots. Multiplicando,
S\approx 0{,}4142135624\cdot(-1{,}4603545088)\approx -0{,}6048986434\ldots

Passo 7

Resumo prático (como resolver rápido na prova):
  • reconhecer que \cos \pi n =(-1)^n;
  • verificar convergência com o teste de Leibniz (condicional) e notar que não é absolutamente convergente porque \sum n^{-1/2} diverge;
  • escrever a série em termos de \eta(s) e usar \eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s) para obter uma expressão exata;
  • para obter valor numérico usar a aproximação de \zeta(\tfrac{1}{2}).
Força — você já pode anotar no caderno: reconhecer o (-1)^n é a chave, e a identidade com \zeta dá a resposta exata.

Resposta

\bigl(\sqrt{2}-1\bigr)\zeta\!\left(\tfrac{1}{2}\right)
\approx -0{,}6048986434

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