Isto é uma série p (série do tipo \sum n^{-p}) com p=\tfrac{1}{2}. Sabemos que uma série p converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
diverge. Conclusão: a série original não converge absolutamente.
Teste de Leibniz (série alternante): para a série alternante \sum (-1)^{n} a_n com a_n\ge0, se a_n é decrescente e a_n\to0 então a série converge. Aqui tome a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Observa-se que a_{n+1}<a_n (porque \dfrac{1}{\sqrt{n}} decresce) e \lim_{n\to\infty}a_n=0. Assim, pela regra de Leibniz, a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}
converge. Como não é absolutamente convergente, ela converge condicionalmente.
Passo 4
Identificar a série como uma função zeta alternante (explicação didática).
Defina, para s\in\mathbb{C} com \Re(s)>0, a função de Dirichlet-eta
Agora uma relação útil entre \eta e a função zeta de Riemann \zeta é
\eta(s)=\bigl(1-2^{\,1-s}\bigr)\zeta(s).
Explicação curta de onde vem essa identidade (modo que se usa em prova): escrevendo \zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s} e separando termos pares e ímpares obtém-se a relação para \Re(s)>1 e a identidade estende-se por continuação analítica para outros s onde \zeta(s) é definido. Para nosso propósito prático em s=\tfrac{1}{2} usamos a identidade como conhecida/aceita (ela vale a partir da continuidade das funções envolvidas).
Passo 5
Aplicar a identidade em s=\tfrac{1}{2}. Primeiro calcule o fator: