Em relação a posição relativa temos:
Se \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}}, \lambda \in \mathbb{R} e P_{1} \notin r_{2}, então as retas são:

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma classificação das retas:
  • Temos duas retas r_{1} e r_{2} com vetores diretores \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}}.
  • Está dado que \overrightarrow{v_{1}}=\lambda \overrightarrow{v_{2}}, com \lambda\in\mathbb{R}.
  • Está dado que P_{1}\notin r_{2} (ou seja, o ponto P_{1} da reta r_{1} não pertence à reta r_{2}).
    A pergunta é: com essas informações, como são as retas r_{1} e r_{2}?

Passo 2

Vamos escrever as equações paramétricas das retas (isso ajuda a visualizar o que cada símbolo significa). Uma reta r pode ser descrita por um ponto de referência e um vetor diretor; assim:
r_{1}:\; X = P_{1} + t\,\overrightarrow{v_{1}},\qquad t\in\mathbb{R},
r_{2}:\; X = P_{2} + s\,\overrightarrow{v_{2}},\qquad s\in\mathbb{R},
onde P_{1} e P_{2} são pontos fixos em cada reta, \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} são os vetores diretores, e t,s são parâmetros reais que percorrem as retas. Aqui X representa um ponto genérico da reta.

Passo 3

Interpretação do dado \overrightarrow{v_{1}}=\lambda\overrightarrow{v_{2}}:
  • Dizer que um vetor é múltiplo escalar do outro significa que eles têm a mesma direção (ou exatamente a direção oposta, se \lambda<0).
  • Geometricamente, isso quer dizer que as retas têm direção paralela: os vetores diretores são colineares.
    Portanto, a partir de \overrightarrow{v_{1}}=\lambda\overrightarrow{v_{2}} já concluímos que as retas são paralelas ou coincidentes — elas não podem formar um ângulo diferente de 0^\circ ou 180^\circ.

Passo 4

Quando duas retas com vetores diretores proporcionais são coincidentes (ou seja, a mesma reta)?
  • Isso acontece exatamente quando um ponto de uma reta pertence à outra reta.
  • Em termos algébricos, r_{1} e r_{2} são coincidentes se existir s\in\mathbb{R} tal que
P_{1} = P_{2} + s\,\overrightarrow{v_{2}}.
  • Outra forma equivalente: P_{1}-P_{2} deve ser múltiplo de \overrightarrow{v_{2}}. Se isso ocorrer, então todos os pontos de r_{1} também estão em r_{2} (as equações paramétricas parametram a mesma coleção de pontos).

Passo 5

Aplicando o dado P_{1}\notin r_{2}:
  • O enunciado diz explicitamente que P_{1} não pertence a r_{2}. Logo a condição para as retas serem coincidentes falha: não existe s com P_{1}=P_{2}+s\,\overrightarrow{v_{2}}.
  • Como já sabemos pelas direções proporcionais que as retas são ou paralelas ou coincidentes, e agora excluímos a coincidência, resta apenas a possibilidade de serem paralelas e distintas.

Passo 6

Observação sobre hipóteses implícitas (para evitar confusão na prova):
  • Estamos assumindo que \overrightarrow{v_{1}} e \overrightarrow{v_{2}} são vetores diretores válidos (não nulos). Se algum vetor diretor fosse o vetor nulo isso não descreve uma reta; normalmente em enunciados de retas os vetores diretores são não nulos. Essa é uma hipótese padrão e vale aqui.
  • Assim, com vetores diretores não nulos e \overrightarrow{v_{1}}=\lambda\overrightarrow{v_{2}}, as retas têm a mesma direção; e com P_{1}\notin r_{2} garantimos que são diferentes.

Passo 7

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia:
  • Tome \overrightarrow{v_{2}}=(1,2), então \overrightarrow{v_{1}}=2\overrightarrow{v_{2}}=(2,4).
  • Seja P_{2}=(0,0) e P_{1}=(0,1). A reta r_{2} é todos os pontos (s,2s). Claramente P_{1}=(0,1) não é da forma (s,2s) para nenhum s. Logo P_{1}\notin r_{2} e as retas são paralelas distintas.
  • Isso ilustra concretamente a regra que usamos acima.

Resposta

Retas paralelas e distintas (paralelas não coincidentes).

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