5- Qual é a relação possível entre os números quânticos de momento angular e o número quântico principal?
Passo 1
O enunciado pergunta qual é a relação possível entre os números quânticos de momento angular e o número quântico principal.
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
- Existe um número quântico principal
, (um número inteiro positivo). - Existem números quânticos associados ao momento angular (vou chamar eles de
e ).
O que se pede: explicar comoe podem se relacionar com — isto é, quais valores inteiros cada um pode assumir dependendo de .
Passo 2
Definição e significado dos símbolos (para eu te deixar tranquilo sobre o que cada coisa representa):
-
é o número quântico principal: é um inteiro positivo que, em átomos, etiqueta as “camadas” de energia (quanto maior , em geral, maior a energia e o tamanho do orbital). -
é o número quântico azimutal (também chamado número quântico do momento angular orbital): é um inteiro não negativo que está ligado ao formato do orbital e ao valor do momento angular orbital. -
é o número quântico magnético: é o inteiro que determina a projeção do momento angular na direção .
Sempre que eu escrever esses símbolos, estou me referindo a esses significados.
Passo 3
Regras gerais que vamos usar (sem prova técnica complicada por enquanto):
-
deve ser inteiro e não negativo: . - Para cada
existem valores de que vão de até em passos de : isto é, .
Essas regras vêm da solução angular da equação de Schrödinger (ou da teoria do momento angular), que exige quantização inteira e limites simétricos para a projeção.
Passo 4
Por que
depende de
e qual é a relação prática:
Ao resolver a parte radial da equação de Schrödinger para um átomo (por exemplo, hidrogênio ou átomos hidrogenoides), a solução física e normalizável pede que apareça um polinômio associado cuja ordem seja um inteiro não negativo. Isso impõe a condição
Ao resolver a parte radial da equação de Schrödinger para um átomo (por exemplo, hidrogênio ou átomos hidrogenoides), a solução física e normalizável pede que apareça um polinômio associado cuja ordem seja um inteiro não negativo. Isso impõe a condição
Essa condição é equivalente a
Como já sabemos que
é inteiro não negativo, juntando as duas informações obtemos a relação prática:
Essa é a relação pedida: para cada valor de
os valores permitidos de
vão de
até
.
Passo 5
Interpretação e exemplos concretos (para fixar):
- Se
então só pode ser . (camada 1 só tem orbital ) - Se
então pode ser ou . (camada 2 tem orbitais e ) - Se
então pode ser . (orbitais )
Esses exemplos mostram como usar a regra na prova: dado, escreve .
Passo 6
Complemento útil sobre
e grandezas físicas (para você usar em questões que peçam valores de momento):
- Para um dado
, os possíveis valores de são
- O módulo do momento angular orbital é
onde
é a constante de Planck reduzida; e a projeção
vale
Essas fórmulas mostram a ligação numérica entre os inteiros
e os valores físicos do momento angular que podem aparecer numa questão.
Passo 7
Dica prática para a prova (motivação e truque rápido):
Quando te perguntarem “quais valores podem ter para dado
?”, não esquece: começa em
e vai até
. Uma maneira rápida de lembrar é: “há exatamente
valores distintos de
para cada
(contando do
ao
)”. Se precisarem dos
, conta
valores simétricos em torno de zero.
Quando te perguntarem “quais valores