5- Qual é a relação possível entre os números quânticos de momento angular e o número quântico principal?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a relação possível entre os números quânticos de momento angular e o número quântico principal.
Informações dadas (explicitamente ou implicitamente):
  • Existe um número quântico principal \,n, (um número inteiro positivo).
  • Existem números quânticos associados ao momento angular (vou chamar eles de \,\ell e \,m_{\ell}).
    O que se pede: explicar como \,\ell e \,m_{\ell} podem se relacionar com \,n — isto é, quais valores inteiros cada um pode assumir dependendo de \,n.

Passo 2

Definição e significado dos símbolos (para eu te deixar tranquilo sobre o que cada coisa representa):
  • \,n é o número quântico principal: é um inteiro positivo \,n=1,2,3,\dots que, em átomos, etiqueta as “camadas” de energia (quanto maior \,n, em geral, maior a energia e o tamanho do orbital).
  • \,\ell é o número quântico azimutal (também chamado número quântico do momento angular orbital): é um inteiro não negativo que está ligado ao formato do orbital e ao valor do momento angular orbital.
  • \,m_{\ell} é o número quântico magnético: é o inteiro que determina a projeção do momento angular na direção z.
    Sempre que eu escrever esses símbolos, estou me referindo a esses significados.

Passo 3

Regras gerais que vamos usar (sem prova técnica complicada por enquanto):
  • \,\ell deve ser inteiro e não negativo: \,\ell=0,1,2,\dots.
  • Para cada \,\ell existem valores de \,m_{\ell} que vão de -\ell até +\ell em passos de 1: isto é, \,m_{\ell}=-\ell,-\ell+1,\dots,0,\dots,\ell-1,\ell.
    Essas regras vêm da solução angular da equação de Schrödinger (ou da teoria do momento angular), que exige quantização inteira e limites simétricos para a projeção.

Passo 4

Por que \,\ell depende de \,n e qual é a relação prática:
Ao resolver a parte radial da equação de Schrödinger para um átomo (por exemplo, hidrogênio ou átomos hidrogenoides), a solução física e normalizável pede que apareça um polinômio associado cuja ordem seja um inteiro não negativo. Isso impõe a condição
n-\ell-1 \in \{0,1,2,\dots\}.
Essa condição é equivalente a
\ell \le n-1.
Como já sabemos que \ell é inteiro não negativo, juntando as duas informações obtemos a relação prática:
\ell \in \{0,1,2,\dots,n-1\}.
Essa é a relação pedida: para cada valor de \,n os valores permitidos de \,\ell vão de 0 até n-1.

Passo 5

Interpretação e exemplos concretos (para fixar):
  • Se \,n=1 então \,\ell só pode ser 0. (camada 1 só tem orbital s)
  • Se \,n=2 então \,\ell pode ser 0 ou 1. (camada 2 tem orbitais 2s e 2p)
  • Se \,n=3 então \,\ell pode ser 0,1,2. (orbitais 3s,3p,3d)
    Esses exemplos mostram como usar a regra na prova: dado \,n, escreve \ell=0,\dots,n-1.

Passo 6

Complemento útil sobre \,m_{\ell} e grandezas físicas (para você usar em questões que peçam valores de momento):
  • Para um dado \,\ell, os possíveis valores de \,m_{\ell} são
m_{\ell} \in \{-\ell,-\ell+1,\dots,\ell-1,\ell\}.
  • O módulo do momento angular orbital é
L=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)},
onde \hbar é a constante de Planck reduzida; e a projeção z vale
L_z=m_{\ell}\hbar.
Essas fórmulas mostram a ligação numérica entre os inteiros \ell,\,m_{\ell} e os valores físicos do momento angular que podem aparecer numa questão.

Passo 7

Dica prática para a prova (motivação e truque rápido):
Quando te perguntarem “quais valores \ell podem ter para dado \,n?”, não esquece: começa em 0 e vai até n-1. Uma maneira rápida de lembrar é: “há exatamente n valores distintos de \ell para cada n (contando do 0 ao n-1)”. Se precisarem dos m_{\ell}, conta 2\ell+1 valores simétricos em torno de zero.

Resposta

\ell \in \{0,1,2,\dots,n-1\}
m_{\ell} \in \{-\ell,-\ell+1,\dots,\ell-1,\ell\}

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