Em relação ao Problema 25, suponha agora que a produção seja fixada em
, onde
é uma constante. Quais valores de
e
minimizam a função custo
?
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de
e
que minimizam a função custo sujeita à restrição de produção. Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo extraído do enunciado):
- Função custo:
, onde e são constantes (preços do trabalho e do capital). - Restrição de produção:
, onde , e são constantes. - Vou assumir as hipóteses usuais para este problema:
, , , e . Essas hipóteses garantem que a solução seja interior e que as potências façam sentido.
O que se pede explicitamente: determinare que minimizam sob a restrição dada.
Passo 2
Escolha do método (o passo teórico didático): usar multiplicadores de Lagrange — é o método padrão para minimizar uma função sujeito a uma restrição de igualdade.
Explicação rápida do método: introduz-se uma função Lagrangiana
que combina o custo e a restrição com um multiplicador
. O multiplicador
mede a sensibilidade do custo mínimo à variação da restrição (intuitivamente, quanto o custo aumenta se for preciso aumentar
um pouquinho). A condição de ótimo interior pede que as derivadas parciais de
em relação a
,
e
sejam zero.
Formulo a Lagrangiana:
Passo 3
Faço as condições de primeira ordem (derivadas parciais iguais a zero). Calculo cada derivada e igualo a zero.
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
:
Derivada em relação a
(a própria restrição):
Essas três equações formam o sistema a resolver.
Passo 4
Elimino
dividindo a equação de
pela de
. Isso costuma simplificar porque
e
cancelam.
Dividindo as duas primeiras equações:
Simplifico a parte direita passo a passo:
Portanto
Isolo a razão
:
Chamo essa constante de proporção de
:
Isso dá a relação entre
e
no ponto ótimo:
.
Passo 5
Substituo
na restrição de produção para encontrar
explicitamente.
A restrição é
Substituindo
:
Calculando as potências:
Logo
Isolando
:
Agora retorno ao valor de
e escrevo
de forma explícita substituindo
:
Passo 6
Determino
usando
. Substituindo:
Simplifico a potência:
. Assim fica mais direto escrever
Portanto encontrei fórmulas fechadas para
e
.
Breve comentário sobre mínimo: com as hipóteses
a solução acima dá
e
. Para a função de produção tipo Cobb–Douglas a curva de isoquanta é convexa e o custo é linear, então o ponto crítico obtido por Lagrange é de fato o mínimo de custo para produzir
. Em termos intuitivos, a razão
diz que fatores são escolhidos em função dos preços relativos e da elasticidade
.