Em relação ao Problema 25, suponha agora que a produção seja fixada em b L^{\alpha} K^{1-\alpha}=Q, onde Q é uma constante. Quais valores de L e K minimizam a função custo C(L, K)=m L+n K ?

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de L e K que minimizam a função custo sujeita à restrição de produção. Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo extraído do enunciado):
  • Função custo: C(L,K)=mL+nK, onde m e n são constantes (preços do trabalho e do capital).
  • Restrição de produção: b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}=Q, onde b, \alpha e Q são constantes.
  • Vou assumir as hipóteses usuais para este problema: m>0, n>0, b>0, Q>0 e 0<\alpha<1. Essas hipóteses garantem que a solução seja interior e que as potências façam sentido.
    O que se pede explicitamente: determinar L e K que minimizam C(L,K) sob a restrição dada.

Passo 2

Escolha do método (o passo teórico didático): usar multiplicadores de Lagrange — é o método padrão para minimizar uma função sujeito a uma restrição de igualdade.
Explicação rápida do método: introduz-se uma função Lagrangiana \mathcal{L}(L,K,\lambda) que combina o custo e a restrição com um multiplicador \lambda. O multiplicador \lambda mede a sensibilidade do custo mínimo à variação da restrição (intuitivamente, quanto o custo aumenta se for preciso aumentar Q um pouquinho). A condição de ótimo interior pede que as derivadas parciais de \mathcal{L} em relação a L, K e \lambda sejam zero.
Formulo a Lagrangiana:
\mathcal{L}(L,K,\lambda)=mL+nK+\lambda\bigl(Q-b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}\bigr).

Passo 3

Faço as condições de primeira ordem (derivadas parciais iguais a zero). Calculo cada derivada e igualo a zero.
Derivada em relação a L:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}=m-\lambda\,b\,\alpha\,L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}=0.
Derivada em relação a K:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K}=n-\lambda\,b\,(1-\alpha)\,L^{\alpha}K^{-\alpha}=0.
Derivada em relação a \lambda (a própria restrição):
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=Q-b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}=0.
Essas três equações formam o sistema a resolver.

Passo 4

Elimino \lambda dividindo a equação de \partial\mathcal{L}/\partial L pela de \partial\mathcal{L}/\partial K. Isso costuma simplificar porque b e \lambda cancelam.
Dividindo as duas primeiras equações:
\frac{m}{n}=\frac{\lambda b \alpha L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}}{\lambda b (1-\alpha) L^{\alpha}K^{-\alpha}}.
Simplifico a parte direita passo a passo:
\frac{\lambda b \alpha L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}}{\lambda b (1-\alpha) L^{\alpha}K^{-\alpha}} =\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot L^{\alpha-1-\alpha}\cdot K^{1-\alpha + \alpha} =\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot \frac{K}{L}.
Portanto
\frac{m}{n}=\frac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\frac{K}{L}.
Isolo a razão K/L:
\frac{K}{L}=\frac{m}{n}\cdot\frac{1-\alpha}{\alpha}.
Chamo essa constante de proporção de c:
c:=\frac{K}{L}=\frac{m(1-\alpha)}{n\alpha}.
Isso dá a relação entre K e L no ponto ótimo: K=cL.

Passo 5

Substituo K=cL na restrição de produção para encontrar L explicitamente.
A restrição é
b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}=Q.
Substituindo K=cL:
b\,L^{\alpha}(cL)^{1-\alpha}=Q.
Calculando as potências:
b\,L^{\alpha}\,c^{1-\alpha}L^{1-\alpha}=b\,c^{1-\alpha}L^{\alpha+1-\alpha}=b\,c^{1-\alpha}L.
Logo
b\,c^{1-\alpha}L=Q.
Isolando L:
L=\frac{Q}{b\,c^{1-\alpha}}.
Agora retorno ao valor de c e escrevo L de forma explícita substituindo c=\dfrac{m(1-\alpha)}{n\alpha}:
L=\frac{Q}{b}\left(\frac{m(1-\alpha)}{n\alpha}\right)^{-(1-\alpha)} =\frac{Q}{b}\left(\frac{n\alpha}{m(1-\alpha)}\right)^{1-\alpha}.

Passo 6

Determino K usando K=cL. Substituindo:
K=cL=\frac{m(1-\alpha)}{n\alpha}\cdot \frac{Q}{b}\left(\frac{n\alpha}{m(1-\alpha)}\right)^{1-\alpha}.
Simplifico a potência: c\cdot c^{-(1-\alpha)}=c^{\alpha}. Assim fica mais direto escrever
K=\frac{Q}{b}\,c^{\alpha} =\frac{Q}{b}\left(\frac{m(1-\alpha)}{n\alpha}\right)^{\alpha}.
Portanto encontrei fórmulas fechadas para L e K.
Breve comentário sobre mínimo: com as hipóteses m>0,n>0,b>0,0<\alpha<1 a solução acima dá L>0 e K>0. Para a função de produção tipo Cobb–Douglas a curva de isoquanta é convexa e o custo é linear, então o ponto crítico obtido por Lagrange é de fato o mínimo de custo para produzir Q. Em termos intuitivos, a razão K/L=\dfrac{m(1-\alpha)}{n\alpha} diz que fatores são escolhidos em função dos preços relativos e da elasticidade \alpha.

Resposta

L^{*}=\frac{Q}{b}\left(\frac{n\alpha}{m(1-\alpha)}\right)^{1-\alpha}
K^{*}=\frac{Q}{b}\left(\frac{m(1-\alpha)}{n\alpha}\right)^{\alpha}

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