(Ueg) Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas transversais nos pontos A, B e C da Avenida 1 e nos pontos D, E e F da Avenida 2, de tal forma que A B=90 m, B C=100 m, D E=x e E F=80 m.
Nessas condições, o valor de x é
a) 62 m
b) 60 m
C) 72 m
d) 74 m
e) 68 m

Passo 1

O enunciado dá a seguinte situação (peguei todos os dados do enunciado):
  • Há três ruas paralelas, cortadas por duas avenidas transversais.
  • Na Avenida 1 os pontos de intersecção com as ruas são A,B,C e os trechos consecutivos valem:
    • A B=90\\ \text{m}
    • B C=100\\ \text{m}
  • Na Avenida 2 os pontos de intersecção com as mesmas três ruas são D,E,F e os trechos consecutivos valem:
    • D E=x (valor desconhecido)
    • E F=80\\ \text{m}
O que o problema pede: determinar o valor de x.

Passo 2

Ideia geométrica básica (explicação didática): quando uma família de retas paralelas é cortada por uma reta (uma avenida), a distância ao longo dessa reta entre duas paralelas depende da separação perpendicular entre as paralelas e do ângulo entre a reta e as paralelas. Mais precisamente, se a distância perpendicular entre duas paralelas sucessivas for \delta e a reta faz ângulo \theta com as paralelas, então o comprimento do segmento entre as intersecções é igual a \dfrac{\delta}{\sin\theta}.
Explicando por que: considerar o segmento entre duas intersecções e projetá‑lo na direção perpendicular às paralelas. Essa projeção tem comprimento \delta. Na figura do triângulo formado, \sin\theta=\dfrac{\delta}{\ell} onde \ell é o comprimento do segmento sobre a avenida; portanto \ell=\dfrac{\delta}{\sin\theta}.

Passo 3

Aplicando a fórmula às duas avenidas:
  • Para a Avenida 1 (ângulo \theta_1 com as paralelas) vale A B=\frac{\delta_1}{\sin\theta_1},\qquad B C=\frac{\delta_2}{\sin\theta_1},onde \delta_1 é a separação perpendicular entre a primeira e a segunda rua, e \delta_2 entre a segunda e a terceira.
  • Para a Avenida 2 (ângulo \theta_2) vale D E=\frac{\delta_1}{\sin\theta_2},\qquad E F=\frac{\delta_2}{\sin\theta_2}.
Dividindo as expressões correspondentes (segmento entre as mesmas duas paralelas), obtemos a igualdade de razões
\frac{A B}{B C}=\frac{\delta_1/\sin\theta_1}{\delta_2/\sin\theta_1}=\frac{\delta_1}{\delta_2} \qquad\text{e}\qquad \frac{D E}{E F}=\frac{\delta_1/\sin\theta_2}{\delta_2/\sin\theta_2}=\frac{\delta_1}{\delta_2}.
Portanto
\frac{A B}{B C}=\frac{D E}{E F}.
Essa é a propriedade chave: os segmentos entre pares de ruas correspondentes em duas avenidas quaisquer são proporcionais.

Passo 4

Substituir os valores conhecidos na proporcionalidade:
\frac{90}{100}=\frac{x}{80}.
Resolver para x. Primeiro escrever a equação:
x = 80\cdot\frac{90}{100}.

Passo 5

Fazer a simplificação numérica passo a passo:
80\cdot\frac{90}{100} = 80\cdot\frac{9}{10} = 8\cdot9 = 72.
Logo x=72. (Unidade: metros.)

Passo 6

Interpretação final curta e encorajamento: a razão entre os trechos consecutivos numa avenida é igual à razão entre os trechos correspondentes em qualquer outra avenida que corte as mesmas paralelas; usar essa proporcionalidade costuma ser a forma mais rápida em provas. Bom trabalho — você já resolveu a parte mais difícil: entender por que as razões são iguais!

Resposta

72\\ \text{m}

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