(Ueg) Três ruas paralelas são cortadas por duas avenidas transversais nos pontos
e
da Avenida 1 e nos pontos
e
da Avenida 2, de tal forma que
e
.
Nessas condições, o valor de
é
a) 62 m
b) 60 m
C)
d) 74 m
e) 68 m
a) 62 m
b) 60 m
C)
d) 74 m
e) 68 m
Passo 1
O enunciado dá a seguinte situação (peguei todos os dados do enunciado):
- Há três ruas paralelas, cortadas por duas avenidas transversais.
- Na Avenida 1 os pontos de intersecção com as ruas são
e os trechos consecutivos valem: -
- Na Avenida 2 os pontos de intersecção com as mesmas três ruas são
e os trechos consecutivos valem: -
(valor desconhecido) -
-
O que o problema pede: determinar o valor de
.
Passo 2
Ideia geométrica básica (explicação didática): quando uma família de retas paralelas é cortada por uma reta (uma avenida), a distância ao longo dessa reta entre duas paralelas depende da separação perpendicular entre as paralelas e do ângulo entre a reta e as paralelas. Mais precisamente, se a distância perpendicular entre duas paralelas sucessivas for
e a reta faz ângulo
com as paralelas, então o comprimento do segmento entre as intersecções é igual a
.
Explicando por que: considerar o segmento entre duas intersecções e projetá‑lo na direção perpendicular às paralelas. Essa projeção tem comprimento
. Na figura do triângulo formado,
onde
é o comprimento do segmento sobre a avenida; portanto
.
Passo 3
Aplicando a fórmula às duas avenidas:
- Para a Avenida 1 (ângulo
com as paralelas) vale onde é a separação perpendicular entre a primeira e a segunda rua, e entre a segunda e a terceira. - Para a Avenida 2 (ângulo
) vale
Dividindo as expressões correspondentes (segmento entre as mesmas duas paralelas), obtemos a igualdade de razões
Portanto
Essa é a propriedade chave: os segmentos entre pares de ruas correspondentes em duas avenidas quaisquer são proporcionais.
Passo 4
Substituir os valores conhecidos na proporcionalidade:
Resolver para
. Primeiro escrever a equação:
Passo 5
Fazer a simplificação numérica passo a passo:
Logo
. (Unidade: metros.)
Passo 6
Interpretação final curta e encorajamento: a razão entre os trechos consecutivos numa avenida é igual à razão entre os trechos correspondentes em qualquer outra avenida que corte as mesmas paralelas; usar essa proporcionalidade costuma ser a forma mais rápida em provas. Bom trabalho — você já resolveu a parte mais difícil: entender por que as razões são iguais!