(Integrado - Medicina) Os ângulos internos de um triângulo ABC estão em progressão aritmética. Sabe-se que o maior ângulo tem o triplo da medida do menor ângulo.
Qual é o valor, em graus, da diferença da medida entre os dois menores ângulos desse triângulo?
a) 20^{\circ}
b) 30^{\circ}
c) 40^{\circ}
d) 50^{\circ}
e) 60^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Os ângulos internos do triângulo ABC estão em progressão aritmética (PA).
  • O maior ângulo tem o triplo da medida do menor ângulo.
O que o enunciado pergunta:
  • Qual é a diferença, em graus, entre os dois menores ângulos desse triângulo?

Passo 2

Entendendo o que é uma progressão aritmética (PA) para três termos: uma PA de três termos pode ser escrita como
\alpha,\quad \alpha+r,\quad \alpha+2r,
onde \alpha é o primeiro termo (aqui, o menor ângulo) e r é a diferença comum (razão da PA). Isso significa que o segundo ângulo é \alpha+r e o maior é \alpha+2r.

Passo 3

Usando a informação “o maior ângulo tem o triplo da medida do menor”, traduzimos isso em equação:
\alpha+2r = 3\alpha.
Agora vamos manipular essa equação para relacionar r e \alpha. Subtraindo \alpha dos dois lados:
2r = 2\alpha \quad\Rightarrow\quad r = \alpha.
Portanto a PA fica explícita em função de \alpha:
\alpha,\quad \alpha+r=\alpha+\alpha=2\alpha,\quad \alpha+2r=\alpha+2\alpha=3\alpha.

Passo 4

Usamos a propriedade dos ângulos internos de um triângulo: a soma dos três ângulos internos é 180^\circ. Substituindo os três ângulos que encontramos:
\alpha + 2\alpha + 3\alpha = 180^\circ.
Somando:
6\alpha = 180^\circ.
Logo:
\alpha = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ.

Passo 5

Agora encontramos os três ângulos:
\text{menor}=\alpha=30^\circ,\qquad \text{médio}=2\alpha=60^\circ,\qquad \text{maior}=3\alpha=90^\circ.é
A diferença entre os dois menores ângulos é
60^\circ-30^\circ=30^\circ.

Resposta

b) 30^\circ

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