(Integrado - Medicina) Os ângulos internos de um triângulo ABC estão em progressão aritmética. Sabe-se que o maior ângulo tem o triplo da medida do menor ângulo.
Qual é o valor, em graus, da diferença da medida entre os dois menores ângulos desse triângulo?
a)
b)
c)
d)
e)
Qual é o valor, em graus, da diferença da medida entre os dois menores ângulos desse triângulo?
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Os ângulos internos do triângulo
estão em progressão aritmética (PA). - O maior ângulo tem o triplo da medida do menor ângulo.
O que o enunciado pergunta:
- Qual é a diferença, em graus, entre os dois menores ângulos desse triângulo?
Passo 2
Entendendo o que é uma progressão aritmética (PA) para três termos: uma PA de três termos pode ser escrita como
onde
é o primeiro termo (aqui, o menor ângulo) e
é a diferença comum (razão da PA). Isso significa que o segundo ângulo é
e o maior é
.
Passo 3
Usando a informação “o maior ângulo tem o triplo da medida do menor”, traduzimos isso em equação:
Agora vamos manipular essa equação para relacionar
e
. Subtraindo
dos dois lados:
Portanto a PA fica explícita em função de
:
Passo 4
Usamos a propriedade dos ângulos internos de um triângulo: a soma dos três ângulos internos é
. Substituindo os três ângulos que encontramos:
Somando:
Logo:
Passo 5
Agora encontramos os três ângulos:
A diferença entre os dois menores ângulos é
Resposta
b)