Encontre o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, ao redor da curva que sai do ponto
e segue em linha reta pelo eixo
até o ponto
e depois retorna ao ponto inicial
seguindo a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o trabalho realizado por um campo vetorial
ao mover uma partícula ao longo de um caminho fechado. O caminho começa no ponto
, vai em linha reta pelo eixo
até
e retorna seguindo a curva
. Vamos precisar usar o cálculo de integrais de linha e o Teorema de Green para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho fechado pode ser calculado usando o Teorema de Green. Esse teorema transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada pelo caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
onde
.
Passo 3
Vamos identificar
e
do nosso campo vetorial:
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a área
delimitada pelo caminho. Observando o caminho, vemos que
é a região do semicírculo superior de raio 3, já que a partícula retorna pelo caminho
.
Usando coordenadas polares para facilitar, onde
,
e
, nossos limites serão:
Passo 5
Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
Simplificando:
Vamos separar as integrais:
Calculando as integrais internas:
Substituindo de volta:
Passo 6
Vamos resolver cada parte:
-
-
(usando a identidade trigonométrica )
Portanto:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo vetorial é
unidades de trabalho.