Encontre o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y)=(e^x-y^3 / 3) i+(e^y+x^2 / 3) j para mover uma partícula que percorre uma vez, no sentido anti-horário, ao redor da curva que sai do ponto (-3,0) e segue em linha reta pelo eixo x até o ponto (3,0) e depois retorna ao ponto inicial (-3,0) seguindo a curva y=raiz9-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula ao longo de um caminho fechado. O caminho começa no ponto , vai em linha reta pelo eixo até e retorna seguindo a curva . Vamos precisar usar o cálculo de integrais de linha e o Teorema de Green para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho fechado pode ser calculado usando o Teorema de Green. Esse teorema transforma a integral de linha em uma integral dupla sobre a área delimitada pelo caminho. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
onde .

Passo 3

Vamos identificar P(x, y) = e^x - y^33 e Q(x, y) = e^y + x^23 e partial Qpartial x = 2x3 e partial Ppartial y = -y^2 do nosso campo vetorial:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 2x3 + y^2
Agora, calculamos as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a área r in [0, 3] e theta in [0, pi] delimitada pelo caminho. Observando o caminho, vemos que é a região do semicírculo superior de raio 3, já que a partícula retorna pelo caminho .
Usando coordenadas polares para facilitar, onde , e , nossos limites serão:

Passo 5

Vamos reescrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD ( 2x3 + y^2 ) dA = integral0^pi integral0^3 ( 2r costheta3 + r^2 sin^2theta ) r , dr , dtheta
Simplificando:
= integral0^pi integral0^3 ( 2r^2 costheta3 + r^3 sin^2theta ) dr , dtheta
Vamos separar as integrais:
= 23 integral0^pi costheta ( integral0^3 r^2 dr ) dtheta + integral0^pi sin^2theta ( integral0^3 r^3 dr ) dtheta
Calculando as integrais internas:
integral0^3 r^2 dr = [ r^33 ]0^3 = 273 = 9
integral0^3 r^3 dr = [ r^44 ]0^3 = 814
Substituindo de volta:
= 23 times 9 integral0^pi costheta , dtheta + 814 integral0^pi sin^2theta , dtheta

Passo 6

Vamos resolver cada parte:
  1. Trabalho = 23 times 9 times 0 + 814 times pi2 = 81pi8
  2. (usando a identidade trigonométrica )
Portanto:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo vetorial é unidades de trabalho.

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