Considere a função
f(x)= 0, & se x<0 x^2+4 x, & se 0 <= x <= 1 3 cos x, & se x>1
Responda: f é contínua em x=0? E em x=1? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado apresenta a função definida por partes
f(x)= 0, & x<0 x^2+4x, & 0<= x<=1 3cos x, & x>1
e pede para verificar continuidade em x=0 e em x=1, usando a definição: f é contínua em a se
limxto a^-f(x)=limxto a^+f(x)=f(a)

Passo 2

Para x=0, calculamos:
limxto0^-f(x)=limxto0^-0=0,
limxto0^+f(x)=limxto0^+(x^2+4x)=0^2+4cdot0=0,
e o valor f(0) (pelas regras do meio ramo) é
f(0)=0^2+4cdot0=0
Como todos são iguais a 0, f é contínua em x=0.

Passo 3

Para x=1, calculamos:
limxto1^-f(x)=limxto1^-(x^2+4x)=1^2+4cdot1=5,
limxto1^+f(x)=limxto1^+3cos x=3cos1approx1,62,
e o valor f(1) (pelo ramo do meio) é
f(1)=1^2+4cdot1=5
Aqui a parte à direita dá 3\cos1\neq5, logo os limites laterais não coincidem, portanto f não é contínua em x=1.

Resposta

f é contínua em x=0 e não é contínua em x=1.

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