( ) Com relação ao produto interno \langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\int_{-1}^{1} \mathbf{u}(x) \mathbf{v}(x) d x, definido sobre \mathbf{V}=\mathcal{P}_{3}(\Re) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 3 , os polinômios u(x)=x e v(x)=x^{3}-x^{2} não são ortogonais.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Produto interno definido por \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle=\int_{-1}^{1}\mathbf{u}(x)\mathbf{v}(x)\,dx.
  • Espaço vetorial \mathbf{V}=\mathcal{P}_{3}(\mathbb{R}).
  • Polinômios dados: \;u(x)=x\; e \;v(x)=x^{3}-x^{2}.
    A afirmação a verificar é: “os polinômios u e v não são ortogonais” — isto é, precisamos checar se \langle u,v\rangle\neq 0 (se for diferente de zero, a afirmação é verdadeira; se for zero, é falsa).

Passo 2

Definição prática que vamos usar: dois vetores (aqui, polinômios) são ortogonais quando o produto interno entre eles é zero. Portanto, devemos calcular
\langle u,v\rangle=\int_{-1}^{1}u(x)v(x)\,dx
e verificar se esse valor é zero ou não.

Passo 3

Primeiro multiplicamos os polinômios:
u(x)v(x)=x\bigl(x^{3}-x^{2}\bigr)=x^{4}-x^{3}.

Passo 4

Agora integramos termo a termo no intervalo [-1,1]. Observação útil (que facilita contas): funções ímpares têm integral zero em intervalo simétrico [-a,a], funções pares dão o dobro da integral em [0,a].
  • x^{3} é função ímpar, logo \displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=0.
  • x^{4} é função par, então
\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx=2\int_{0}^{1}x^{4}\,dx.
Calcule a integral em [0,1]:
\int_{0}^{1}x^{4}\,dx=\left.\frac{x^{5}}{5}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{5}.
Portanto
\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx=2\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}.
Juntando os termos,
\langle u,v\rangle=\int_{-1}^{1}\bigl(x^{4}-x^{3}\bigr)\,dx=\int_{-1}^{1}x^{4}\,dx-\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx=\frac{2}{5}-0=\frac{2}{5}.

Passo 5

Concluímos que \langle u,v\rangle=\dfrac{2}{5}\neq 0. Logo u e v não são ortogonais. A afirmação do enunciado (“os polinômios u(x)=x e v(x)=x^{3}-x^{2} não são ortogonais”) é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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