( ) O conjunto formado pelos vetores \mathbf{u}=(1,-1,3), \mathbf{v}=(3,-2,-8) e \mathbf{w}=(5,-4,-2) é linearmente dependente (LD).

Passo 1

O enunciado pede que se verifique se o conjunto formado pelos vetores \mathbf{u}=(1,-1,3), \mathbf{v}=(3,-2,-8) e \mathbf{w}=(5,-4,-2) é linearmente dependente (LD).
Informações dadas:
  • \mathbf{u}=(1,-1,3)
  • \mathbf{v}=(3,-2,-8)
  • \mathbf{w}=(5,-4,-2)

Passo 2

Definição útil (explicação didática): um conjunto de vetores é linearmente dependente se existem escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
a\,\mathbf{u}+b\,\mathbf{v}+c\,\mathbf{w}=\mathbf{0}.
Para três vetores em \mathbb{R}^3 uma forma prática de testar isso é montar a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e verificar se o determinante é zero. Se o determinante for zero, as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes (há combinação linear não trivial que dá o vetor zero). Vou usar as linhas aqui.

Passo 3

Monta-se a matriz com os vetores como linhas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3\\[4pt] 3 & -2 & -8\\[4pt] 5 & -4 & -2 \end{pmatrix}.
Se \det(A)=0 então os vetores são LD.]

Passo 4

Calcular o determinante por operações elementares (mostrando passo a passo): aplicar operações do tipo “linha \leftarrow linha - k \times outra linha” não altera o fato de o determinante ser zero ou não (essas operações preservam a propriedade de ser nulo). Faço:
L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1,\qquad L_3 \leftarrow L_3 - 5L_1.
Calculando:
L_2 = (3,-2,-8)-3(1,-1,3)=(3-3,\,-2+3,\,-8-9)=(0,1,-17),
L_3 = (5,-4,-2)-5(1,-1,3)=(5-5,\,-4+5,\,-2-15)=(0,1,-17).
Então a matriz transformada tem as linhas 2 e 3 idênticas. Assim duas linhas iguais implicam diretamente que o determinante é zero:
\det(A)=0.
Portanto os vetores são linearmente dependentes.

Passo 5

Para ser didático, vou extrair explicitamente a combinação linear não trivial encontrada pela operação anterior. Da igualdade obtida nos passos:
L_2-3L_1 = L_3-5L_1,
temos
L_2 -3L_1 - (L_3 -5L_1)=\mathbf{0}.
Reorganizando:
2L_1 + L_2 - L_3=\mathbf{0}.
Substituindo L_1=\mathbf{u}, L_2=\mathbf{v}, L_3=\mathbf{w}, obtemos a relação não trivial
2\mathbf{u}+\mathbf{v}-\mathbf{w}=\mathbf{0}.
Verificação numérica rápida:
2\mathbf{u}+\mathbf{v}-\mathbf{w}=2(1,-1,3)+(3,-2,-8)-(5,-4,-2)=(0,0,0).
Como existe essa combinação com coeficientes (2,1,-1) não todos nulos, isso confirma que o conjunto é LD.

Resposta

Linearmente dependente (LD)

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