( ) O conjunto formado pelos vetores \mathbf{u}=(1,-1,3), \mathbf{v}=(3,-2,-8) e \mathbf{w}=(5,-4,-2) é linearmente dependente (LD).
Passo 1
O enunciado pede que se verifique se o conjunto formado pelos vetores \mathbf{u}=(1,-1,3), \mathbf{v}=(3,-2,-8) e \mathbf{w}=(5,-4,-2) é linearmente dependente (LD).
Informações dadas:
\mathbf{u}=(1,-1,3)
\mathbf{v}=(3,-2,-8)
\mathbf{w}=(5,-4,-2)
Passo 2
Definição útil (explicação didática): um conjunto de vetores é linearmente dependente se existem escalares a,b,c, não todos nulos, tais que
Para três vetores em \mathbb{R}^3 uma forma prática de testar isso é montar a matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores e verificar se o determinante é zero. Se o determinante for zero, as linhas (ou colunas) são linearmente dependentes (há combinação linear não trivial que dá o vetor zero). Vou usar as linhas aqui.
Calcular o determinante por operações elementares (mostrando passo a passo): aplicar operações do tipo “linha \leftarrow linha - k \times outra linha” não altera o fato de o determinante ser zero ou não (essas operações preservam a propriedade de ser nulo). Faço: