(T) Sega V um espacio vetorial sobre K. Entāo, temos que \operatorname{dim}(\operatorname{Hom}(V, U))= =\operatorname{dim} V \Leftrightarrow U=K.

Passo 1

O enunciado (corrigido na notação) é: seja V um espaço vetorial sobre K e seja U outro espaço vetorial sobre K. Queremos relacionar \dim(\operatorname{Hom}(V,U)) e \dim V. A afirmação a provar (e que vou analisar cuidadosamente) é
\dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V \iff U=K.
Vou listar o que temos e o que é pedido:
  • Informações dadas: V e U são espaços vetoriais sobre o corpo K. Estou assumindo aqui que V e U são de dimensão finita (caso contrário há questões de cardinais infinitos; depois comento o caso degenerado de \dim V=0).
  • O que se pede: mostrar quando ocorre \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V. Em particular, identificar que isso acontece exatamente quando U tem dimensão 1 (ou seja, é isomorfo a K como espaço vetorial). Vou provar as duas implicações e tratar o caso especial \dim V=0.

Passo 2

Definições e ideia principal que vou usar (explicada devagar).
  • \operatorname{Hom}(V,U) é o espaço vetorial formado por todas as transformações lineares T\colon V\to U.
  • Quando V e U têm dimensões finitas, existe a fórmula básica
\dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V\cdot\dim U.
Vou provar essa fórmula escolhendo bases; ela é a ferramenta que reduz o problema a uma conta simples de dimensões. Depois uso essa igualdade para obter a equivalência pedida.

Passo 3

Prova detalhada da fórmula \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V\cdot\dim U.
  • Seja n=\dim V e m=\dim U. Como são finitas, escolhemos bases:
    • uma base de V: \{v_1,\dots,v_n\},
    • uma base de U: \{u_1,\dots,u_m\}.
  • Qualquer transformação linear T\in\operatorname{Hom}(V,U) é completamente determinada pelas imagens dos vetores da base de V. Para cada j\in\{1,\dots,n\} existe uma combinação linear T(v_j)=a_{1j}u_1+\cdots+a_{mj}u_m,onde os coeficientes a_{ij}\in K.
  • Portanto cada T corresponde de forma única à matriz (a_{ij}) de tamanho m\times n (colunas indexadas por j, linhas por i). A correspondência T\leftrightarrow (a_{ij}) é linear e bijetiva entre \operatorname{Hom}(V,U) e o espaço de todas as matrizes m\times n sobre K.
  • O espaço das matrizes m\times n tem dimensão mn (cada entrada é um grau de liberdade). Logo
\dim(\operatorname{Hom}(V,U))=mn=\dim V\cdot\dim U.

Passo 4

Usar a fórmula para analisar a igualdade desejada.
  • A igualdade pedida é \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V.
  • Pela fórmula, isso equivale a \dim V\cdot\dim U=\dim V.
  • Agora faz-se a conta: se \dim V=n e \dim U=m, então nm=n. Isso implica (n)(m-1)=0.

Passo 5

Conclusão para o caso \dim V>0 (caso relevante em provas).
  • Se \dim V=n>0, então n(m-1)=0 implica m-1=0, isto é \dim U=m=1.
  • Ter \dim U=1 significa que U é um espaço vetorial unidimensional sobre K. Todo espaço vetorial unidimensional sobre K é isomorfo a K (escolhe-se qualquer vetor não-nulo u\in U e a aplicação K\to U dada por \lambda\mapsto\lambda u é um isomorfismo de espaços vetoriais).
  • Logo, para \dim V>0 obtemos a implicação \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V \implies \dim U=1 \iff U\cong K.

Passo 6

Provar a implicação inversa (converso): se U\cong K então a igualdade de dimensões ocorre.
  • Se \dim U=1, pela fórmula \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V\cdot\dim U temos \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V\cdot 1=\dim V.
  • Portanto \dim U=1 (ou U\cong K) implica \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V.
  • Isso fecha a equivalência quando \dim V>0: \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V se, e somente se, \dim U=1 (ou U\cong K).

Passo 7

Observação sobre o caso degenerado \dim V=0 (espço nulo).
  • Se \dim V=0 (isto é, V=\{0\}), então \operatorname{Hom}(V,U) é o espaço que contém só a transformação zero, portanto \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=0=\dim V para qualquer U.
  • Assim, no caso \dim V=0 a igualdade \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V é verdadeira para todo U, e portanto a equivalência com U=K falha nesse caso especial.
  • Em provas é comum assumir V\neq\{0\} quando se quer a equivalência com U\cong K; fiquei devagar aqui para não esquecer esse detalhe.

Passo 8

Exemplos concretos para fixar a intuição.
  • Exemplo 1: V=K^3 e U=K (ou U\cong K). Temos \dim(\operatorname{Hom}(K^3,K))=3\cdot 1=3=\dim K^3. As transformações lineares K^3\to K são exatamente as formas lineares (lin. funcionais) e correspondem a vetores linha 1\times 3.
  • Exemplo 2: V=K^2 e U=K^2. Então \dim(\operatorname{Hom}(K^2,K^2))=2\cdot 2=4, que é diferente de \dim V=2; portanto não ocorre igualdade e, de fato, U não é isomorfo a K.
  • Exemplo 3 (caso degenerado): V=\{0\} e qualquer U. Então \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=0=\dim V, mesmo que U não seja K.

Resposta

Para \dim V>0: \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V se, e somente se, \dim U=1, isto é U\cong K.\n
Para \dim V=0: a igualdade \dim(\operatorname{Hom}(V,U))=\dim V vale para todo U.

Exercícios relacionados