(T) Sega V um espacio vetorial sobre
. Entāo, temos que
.
Passo 1
O enunciado (corrigido na notação) é: seja
um espaço vetorial sobre
e seja
outro espaço vetorial sobre
. Queremos relacionar
e
. A afirmação a provar (e que vou analisar cuidadosamente) é
Vou listar o que temos e o que é pedido:
- Informações dadas:
e são espaços vetoriais sobre o corpo . Estou assumindo aqui que e são de dimensão finita (caso contrário há questões de cardinais infinitos; depois comento o caso degenerado de ). - O que se pede: mostrar quando ocorre
. Em particular, identificar que isso acontece exatamente quando tem dimensão (ou seja, é isomorfo a como espaço vetorial). Vou provar as duas implicações e tratar o caso especial .
Passo 2
Definições e ideia principal que vou usar (explicada devagar).
-
é o espaço vetorial formado por todas as transformações lineares . - Quando
e têm dimensões finitas, existe a fórmula básica
Vou provar essa fórmula escolhendo bases; ela é a ferramenta que reduz o problema a uma conta simples de dimensões. Depois uso essa igualdade para obter a equivalência pedida.
Passo 3
Prova detalhada da fórmula
.
- Seja
e . Como são finitas, escolhemos bases: - uma base de
: , - uma base de
: .
- uma base de
- Qualquer transformação linear
é completamente determinada pelas imagens dos vetores da base de . Para cada existe uma combinação linear onde os coeficientes . - Portanto cada
corresponde de forma única à matriz de tamanho (colunas indexadas por , linhas por ). A correspondência é linear e bijetiva entre e o espaço de todas as matrizes sobre . - O espaço das matrizes
tem dimensão (cada entrada é um grau de liberdade). Logo
Passo 4
Usar a fórmula para analisar a igualdade desejada.
- A igualdade pedida é
- Pela fórmula, isso equivale a
- Agora faz-se a conta: se
e , então . Isso implica .
Passo 5
Conclusão para o caso
(caso relevante em provas).
- Se
, então implica , isto é . - Ter
significa que é um espaço vetorial unidimensional sobre . Todo espaço vetorial unidimensional sobre é isomorfo a (escolhe-se qualquer vetor não-nulo e a aplicação dada por é um isomorfismo de espaços vetoriais). - Logo, para
obtemos a implicação
Passo 6
Provar a implicação inversa (converso): se
então a igualdade de dimensões ocorre.
- Se
, pela fórmula temos - Portanto
(ou ) implica . - Isso fecha a equivalência quando
: se, e somente se, (ou ).
Passo 7
Observação sobre o caso degenerado
(espço nulo).
- Se
(isto é, ), então é o espaço que contém só a transformação zero, portanto para qualquer . - Assim, no caso
a igualdade é verdadeira para todo , e portanto a equivalência com falha nesse caso especial. - Em provas é comum assumir
quando se quer a equivalência com ; fiquei devagar aqui para não esquecer esse detalhe.
Passo 8
Exemplos concretos para fixar a intuição.
- Exemplo 1:
e (ou ). Temos . As transformações lineares são exatamente as formas lineares (lin. funcionais) e correspondem a vetores linha . - Exemplo 2:
e . Então , que é diferente de ; portanto não ocorre igualdade e, de fato, não é isomorfo a . - Exemplo 3 (caso degenerado):
e qualquer . Então , mesmo que não seja .
Resposta
Para
:
se, e somente se,
, isto é
.\n
Para : a igualdade
vale para todo
.
Para