Em relação à trajetória, a velocidade instantânea em um dado ponto, é
Escolha uma opção:
◯ a. igual ao espaço percorrido desde o começo até P , dividido pelo tempo gasto
◯ b. tangente à trajetória naquele ponto
◯ c. ortogonal à trajetória, se houver aceleração centrípeta
◯ d. A direção da velocidade em relação à trajetória não pode ser determinada em geral

Passo 1

O enunciado pede para escolher a opção correta entre quatro alternativas sobre a velocidade instantânea em um ponto da trajetória. As alternativas são:
  • a. igual ao espaço percorrido desde o começo até P, dividido pelo tempo gasto
  • b. tangente à trajetória naquele ponto
  • c. ortogonal à trajetória, se houver aceleração centrípeta
  • d. A direção da velocidade em relação à trajetória não pode ser determinada em geral
Vou listar o que nos é dado: uma pergunta conceitual sobre a direção da velocidade instantânea em um ponto P de uma trajetória de uma partícula.

Passo 2

Definição precisa de velocidade instantânea (fórmula e significado).
  • Seja \vec r(t) o vetor posição da partícula em função do tempo t. A velocidade instantânea é definida como o limite da velocidade média quando o intervalo de tempo tende a zero:
\vec v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}=\frac{d\vec r}{dt}.
  • Explicando cada termo: \vec r(t) é onde a partícula está (um vetor), \Delta t é um pequeno intervalo de tempo, \vec r(t+\Delta t)-\vec r(t) é o deslocamento nesse intervalo, e ao dividir por \Delta t obtemos a velocidade média. O limite faz essa velocidade média convergir para a velocidade no instante t.

Passo 3

Interpretação geométrica da definição: por que a velocidade é tangente.
  • Geometricamente, \vec r(t+\Delta t)-\vec r(t) para \Delta t pequeno é um vetor que aponta aproximadamente ao longo da reta tangente à curva descrita por \vec r(t) no ponto P=\vec r(t).
  • No limite \Delta t\to0 esse vetor deslocamento é paralelo ao vetor velocidade \vec v(t). Portanto \vec v(t) aponta na direção da reta tangente à trajetória em P.

Passo 4

Uma forma prática de ver isso (expansão em série linear).
  • Para \Delta t pequeno vale a aproximação de primeira ordem (expansão de Taylor):
\vec r(t+\Delta t)\approx\vec r(t)+\Delta t\;\vec v(t).
  • Rearranjando,
\frac{\vec r(t+\Delta t)-\vec r(t)}{\Delta t}\approx\vec v(t).
  • Isso mostra que, para intervalos muito pequenos, o deslocamento dividido por \Delta t tem direção muito próxima da de \vec v(t). Assim \vec v(t) é o vetor que indica a direção e sentido da tangente à trajetória.

Passo 5

Exemplo concreto (movimento circular) para fixar a ideia e desfazer confusões com aceleração centrípeta.
  • Considere uma partícula em movimento circular uniforme de raio R e velocidade angular \omega com posição
\vec r(t)=R\big(\cos(\omega t),\,\sin(\omega t)\big).
  • A velocidade é a derivada:
\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt}=R\omega\big(-\sin(\omega t),\,\cos(\omega t)\big).
Observe que \vec v(t) é perpendicular ao vetor radial \vec r(t) e, portanto, tangente ao círculo: a direção de \vec v(t) segue a tangente à trajetória circular naquele ponto.
  • A aceleração é
\vec a(t)=\frac{d\vec v}{dt}=-R\omega^2\big(\cos(\omega t),\,\sin(\omega t)\big)=-\omega^2\vec r(t),
ou seja, aponta para o centro (centrípeta) e é ortogonal a \vec v(t). Isso confirma: aceleração centrípeta é perpendicular à velocidade, mas a velocidade continua sendo tangente à trajetória.

Passo 6

Conclusão sobre as alternativas (por que as outras estão erradas).
  • a. Errada: essa alternativa descreve uma velocidade média desde o início até P, não a velocidade instantânea no ponto.
  • b. Correta: a velocidade instantânea é a derivada da posição e geometrica-mente é tangente à trajetória no ponto.
  • c. Errada: a aceleração centrípeta (quando existe) é ortogonal à velocidade, mas isso não faz a velocidade ser ortogonal à trajetória — ao contrário, a velocidade permanece tangente.
  • d. Errada: a direção da velocidade pode ser determinada: é a direção tangente à curva no ponto considerado.

Passo 7

Fica a dica prática para prova: quando pedirem “direção da velocidade” pense sempre no vetor tangente à curva; se pedirem “aceleração centrípeta”, lembre que ela aponta radialmente para o centro e é perpendicular à velocidade. Vai dar certo — respira, revisa alguns exemplos rápidos e confia.

Resposta

b. tangente à trajetória naquele ponto

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