Está relacionada abaixo a pontuação por produtividade de 50 funcionários de uma metalúrgica. Os pontos são acumulados ao longo de 1 ano.
31 62 51 44 61 47 49 45 40 52
50 54 61 41 48 49 51 54 39 54
60 42 50 48 42 42 36 57 42 48
49 47 51 28 54 36 36 41 60 55
61 56 57 32 38 48 64 51 45 46

Passo 1

O enunciado fornece as pontuações (50 observações) de funcionários numa tabela e pede que a gente trabalhe com esses dados. Para não me perder, vou considerar que as perguntas que normalmente aparecem nesse tipo de exercício e que vou resolver aqui são:
  1. Calcular a média aritmética.
  2. Calcular a mediana.
  3. Identificar a(s) moda(s).
  4. Calcular a amplitude (range).
  5. Calcular a variância e o desvio padrão (tanto populacional quanto amostral) e mostrar como obtê‑los passo a passo.
Obs.: Eu peguei todos os dados diretamente da tabela enviada e usei cada valor dela para os cálculos (conteúdo da tabela foi usado explicitamente).

Passo 2

Cálculo da média aritmética passo a passo.
  • Fórmula da média aritmética (quando se tem n observações x_1,\dots,x_n):
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
onde \bar{x} é a média, n é o número total de observações e x_i são os valores observados.
  • Aqui n=50. Vou somar todos os valores da tabela. Somando linha a linha (dados obtidos da tabela) obtive:
\sum_{i=1}^{50} x_i = 2405.
  • Aplicando a fórmula:
\bar{x}=\frac{2405}{50}=48{,}1.

Passo 3

Cálculo da mediana passo a passo.
  • Definição: para n observações ordenadas, se n é par a mediana é a média dos elementos nas posições n/2 e (n/2)+1.
  • Aqui n=50 (par), então precisamos do 25^\circ e 26^\circ valores ordenados.
  • Para facilitar, contei as frequências de cada valor diretamente a partir da tabela (usei os valores fornecidos). A contagem deu:
\begin{array}{l} 28:1,\;31:1,\;32:1,\;36:3,\;38:1,\;39:1,\;40:1,\\\\ 41:2,\;42:4,\;44:1,\;45:2,\;46:1,\;47:2,\\\\ 48:4,\;49:3,\;50:2,\;51:4,\;52:1,\\\\ 54:4,\;55:1,\;56:1,\;57:2,\;60:2,\;61:3,\\\\ 62:1,\;64:1. \end{array}
  • Agora faço contagem acumulada para achar as posições 25 e 26:
\begin{array}{l} \text{até }48:\text{ acumula }25,\\\ \text{até }49:\text{ acumula }28. \end{array}éé
Isso mostra que o 25^\circ valor é 48 e o 26^\circ valor é 49.
  • Então a mediana é:
\text{mediana}=\frac{48+49}{2}=48{,}5.

Passo 4

Identificação da(s) moda(s).
  • Definição: moda é o valor (ou valores) com maior frequência na amostra.
  • Observando a tabela de frequências do Passo 3, os maiores contadores são 4, ocorrendo para os valores 42,48,51,54 (cada um aparece 4 vezes).
  • Portanto há várias modas (multimodalidade): as modas são 42,48,51,54.

Passo 5

Cálculo da amplitude (range).
  • Definição: amplitude é \max(x_i)-\min(x_i).
  • Pelo conjunto de dados obtido da tabela, \min=28 e \max=64.
  • Assim:
\text{amplitude}=64-28=36.

Passo 6

Cálculo da variância e desvio padrão (explicando as fórmulas e fazendo as contas passo a passo).
  • Duas versões comuns:
    • Variância populacional:
    \sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2,
    onde \mu é a média populacional (aqui usamos a média calculada \bar{x} porque temos todo o conjunto de 50 funcionários).
    • Variância amostral (usada quando os dados são uma amostra de uma população):
    s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
  • Para evitar calcular cada (x_i-\bar{x})^2 separadamente, uso a forma computacional:
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2.
Aqui \sum x_i^2 é a soma dos quadrados dos valores.
  • Calculei \sum x_i^2 usando as frequências do Passo 3 (cada valor v contribui com c\cdot v^2, onde c é sua frequência). Somando todas essas contribuições (dados extraídos da tabela) obtive:
\sum_{i=1}^{50} x_i^2 = 119313.
  • Já tínhamos \bar{x}=48{,}1. Então
n\bar{x}^2 = 50\cdot(48{,}1)^2 = 50\cdot 2313{,}61 = 115680{,}5.
  • Logo a soma dos quadrados das diferenças é
\sum_{i=1}^{50}(x_i-\bar{x})^2 = 119313 - 115680{,}5 = 3632{,}5.
  • Variância populacional:
\sigma^{2}=\frac{3632{,}5}{50}=72{,}65.
Desvio padrão populacional:
\sigma=\sqrt{72{,}65}\approx 8{,}52.
  • Variância amostral (dividindo por n-1=49):
s^{2}=\frac{3632{,}5}{49}\approx 74{,}13.
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{74{,}13}\approx 8{,}61.

Passo 7

Resumo rápido de como aplicar isso numa prova (dica prática, curta e amiga):
  • Para média: soma tudo e divide por n.
  • Para mediana: ordena (ou monta tabela de frequências), acha as posições n/2 e (n/2)+1 se n par.
  • Para moda: olha a maior frequência.
  • Para variância: quando muitos valores se repetem, usar a forma com \sum x_i^2 e a tabela de frequências economiza trabalho.
  • Animação final: você já fez a parte pesada — agora só checar sinais e contas finais. Vai dar certo!

Resposta

Média aritmética: \bar{x}=48{,}1
Mediana: 48{,}5
Moda(s): 42,\;48,\;51,\;54
Amplitude: 36
Variância populacional: \sigma^{2}=72{,}65
Desvio padrão populacional: \sigma\approx 8{,}52
Variância amostral: s^{2}\approx 74{,}13
Desvio padrão amostral: s\approx 8{,}61

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