Está relacionada abaixo a pontuação por produtividade de 50 funcionários de uma metalúrgica. Os pontos são acumulados ao longo de 1 ano.
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| 31 | 62 | 51 | 44 | 61 | 47 | 49 | 45 | 40 | 52 |
| 50 | 54 | 61 | 41 | 48 | 49 | 51 | 54 | 39 | 54 |
| 60 | 42 | 50 | 48 | 42 | 42 | 36 | 57 | 42 | 48 |
| 49 | 47 | 51 | 28 | 54 | 36 | 36 | 41 | 60 | 55 |
| 61 | 56 | 57 | 32 | 38 | 48 | 64 | 51 | 45 | 46 |
Passo 1
O enunciado fornece as pontuações (50 observações) de funcionários numa tabela e pede que a gente trabalhe com esses dados. Para não me perder, vou considerar que as perguntas que normalmente aparecem nesse tipo de exercício e que vou resolver aqui são:
- Calcular a média aritmética.
- Calcular a mediana.
- Identificar a(s) moda(s).
- Calcular a amplitude (range).
- Calcular a variância e o desvio padrão (tanto populacional quanto amostral) e mostrar como obtê‑los passo a passo.
Obs.: Eu peguei todos os dados diretamente da tabela enviada e usei cada valor dela para os cálculos (conteúdo da tabela foi usado explicitamente).
Passo 2
Cálculo da média aritmética passo a passo.
- Fórmula da média aritmética (quando se tem
observações ):
onde
é a média,
é o número total de observações e
são os valores observados.
- Aqui
. Vou somar todos os valores da tabela. Somando linha a linha (dados obtidos da tabela) obtive:
- Aplicando a fórmula:
Passo 3
Cálculo da mediana passo a passo.
-
Definição: para
observações ordenadas, se é par a mediana é a média dos elementos nas posições e . -
Aqui
(par), então precisamos do e valores ordenados. -
Para facilitar, contei as frequências de cada valor diretamente a partir da tabela (usei os valores fornecidos). A contagem deu:
- Agora faço contagem acumulada para achar as posições
e :
Isso mostra que o
valor é
e o
valor é
.
- Então a mediana é:
Passo 4
Identificação da(s) moda(s).
-
Definição: moda é o valor (ou valores) com maior frequência na amostra.
-
Observando a tabela de frequências do Passo 3, os maiores contadores são
, ocorrendo para os valores (cada um aparece 4 vezes). -
Portanto há várias modas (multimodalidade): as modas são
.
Passo 5
Cálculo da amplitude (range).
-
Definição: amplitude é
. -
Pelo conjunto de dados obtido da tabela,
e . -
Assim:
Passo 6
Cálculo da variância e desvio padrão (explicando as fórmulas e fazendo as contas passo a passo).
-
Duas versões comuns:
- Variância populacional:
ondeé a média populacional (aqui usamos a média calculada porque temos todo o conjunto de 50 funcionários). - Variância amostral (usada quando os dados são uma amostra de uma população):
-
Para evitar calcular cada
separadamente, uso a forma computacional:
Aqui
é a soma dos quadrados dos valores.
- Calculei
usando as frequências do Passo 3 (cada valor contribui com , onde é sua frequência). Somando todas essas contribuições (dados extraídos da tabela) obtive:
- Já tínhamos
. Então
- Logo a soma dos quadrados das diferenças é
- Variância populacional:
Desvio padrão populacional:
- Variância amostral (dividindo por
):
Desvio padrão amostral:
Passo 7
Resumo rápido de como aplicar isso numa prova (dica prática, curta e amiga):
- Para média: soma tudo e divide por
. - Para mediana: ordena (ou monta tabela de frequências), acha as posições
e se par. - Para moda: olha a maior frequência.
- Para variância: quando muitos valores se repetem, usar a forma com
e a tabela de frequências economiza trabalho. - Animação final: você já fez a parte pesada — agora só checar sinais e contas finais. Vai dar certo!
Resposta
Média aritmética:
Mediana:
Moda(s):
Amplitude:
Variância populacional:
Desvio padrão populacional:
Variância amostral:
Desvio padrão amostral: