A tabela abaixo apresenta os montantes de 40 empréstimos pessoais (em reais) em uma companhia financeira. Suponha que você deverá apresentar a um grupo de investidores os resultados da companhia utilizando-se apenas destes dados. Monte uma tabela para um melhor entendimento dos resultados. Interprete e comente-os.
300 300 350 350 450 450 500 500
550 550 600 600 650 700 750 750
850 850 900 900 950 1000 1000 1000
1100 1200 1200 1250 1300 1400 1500 1500
1600 1650 1800 1900 2000 2000 2500 3000

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Montar uma tabela que torne os resultados (os montantes dos \,40 empréstimos) mais fáceis de entender para investidores.
  • Interpretar e comentar esses resultados.
Informações dadas (os dados já ordenados na tabela do enunciado):
\begin{array}{rrrrrrrr} 300 & 300 & 350 & 350 & 450 & 450 & 500 & 500 \\\\ 550 & 550 & 600 & 600 & 650 & 700 & 750 & 750 \\\\ 850 & 850 & 900 & 900 & 950 & 1000 & 1000 & 1000 \\\\ 1100 & 1200 & 1200 & 1250 & 1300 & 1400 & 1500 & 1500 \\\\ 1600 & 1650 & 1800 & 1900 & 2000 & 2000 & 2500 & 3000 \end{array}
Informações relevantes para a tarefa (resumidas):
  • Tamanho da amostra: \,N=40.
  • Valores mínimos e máximos visíveis na tabela: \,300 e \,3000.
  • Deve-se apresentar uma tabela (sugestão: tabela de frequências agrupada) e interpretar medidas de posição e dispersão para uso por investidores.

Passo 2

Decisão do método e justificativa (explicando didaticamente):
  • O enunciado não exige método específico, então vamos apresentar uma tabela de frequência agrupada (boa para exposição a investidores) e calcular medidas descritivas (média, mediana, moda, quartis, amplitude, desvio-padrão, coeficiente de variação).
  • Por que tabela de classes? Porque temos 40 observações e elas variam bastante ( \,300 até \,3000). Agrupar em classes facilita visualizar concentração de empréstimos por faixa.
  • Quantas classes usar? Uma regra simples é a Regra de Sturges: \,k \approx 1 + 3{,}322\log_{10}N. Para N=40,
k \approx 1 + 3{,}322\log_{10}(40) \approx 6{,}3,
logo escolhemos 6 classes (número prático).
  • Como escolher largura de classe? Largura aproximada \,h = \dfrac{\text{amplitude}}{k}. A amplitude é \,3000-300=2700, então \,h\approx 2700/6=450. Para facilitar a leitura dos investidores, escolhi larguras arredondadas de \,500 (classes limpas), cobrindo todo o intervalo.

Passo 3

Construção da tabela de frequência agrupada (passo a passo e contagem explícita):
  • Escolhi classes de largura \,500 começando em \,300. As classes (com limite inferior incluído) e quais observações caem em cada uma:
    • Classe 1: \,300 a \,799. Contém os valores \,300,300,350,350,450,450,500,500,550,550,600,600,650,700,750,750. Frequência \,f_1=16.
    • Classe 2: \,800 a \,1299. Contém \,850,850,900,900,950,1000,1000,1000,1100,1200,1200,1250. Frequência \,f_2=12.
    • Classe 3: \,1300 a \,1799. Contém \,1300,1400,1500,1500,1600,1650. Frequência \,f_3=6.
    • Classe 4: \,1800 a \,2299. Contém \,1800,1900,2000,2000. Frequência \,f_4=4.
    • Classe 5: \,2300 a \,2799. Contém \,2500. Frequência \,f_5=1.
    • Classe 6: \,2800 a \,3299. Contém \,3000. Frequência \,f_6=1.
Agora a tabela com frequências absolutas, relativas e acumuladas (valores calculados):
\begin{array}{lrrr} \text{Classe (R\$)} & \text{Frequência }(f) & \text{Freq. relativa} & \text{F. acumulada} \\\ \hline 300\text{—}799 & 16 & 16/40=0{,}40\\ (40\%) & 16 \\\\ 800\text{—}1299 & 12 & 12/40=0{,}30\\ (30\%) & 28 \\\\ 1300\text{—}1799 & 6 & 6/40=0{,}15\\ (15\%) & 34 \\\\ 1800\text{—}2299 & 4 & 4/40=0{,}10\\ (10\%) & 38 \\\\ 2300\text{—}2799 & 1 & 1/40=0{,}025\\ (2{,}5\%) & 39 \\\\ 2800\text{—}3299 & 1 & 1/40=0{,}025\\ (2{,}5\%) & 40 \\\ \end{array}
(Confirme: as frequências somam \,40 e as percentagens somam \,100\%.)

Passo 4

Cálculo das medidas de posição (explicando cada fórmula e passo):
  • Soma dos valores (para a média). Somei todas as 40 observações (mostro o resultado do somatório):
\sum_{i=1}^{40} x_i = 42700.
  • Média aritmética (indicador de tendência central; cada observação contribui igualmente):
\bar{x} = \dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} x_i = \dfrac{42700}{40} = 1067{,}5.
Explicação: \bar{x} é o “valor médio”, resultado de somar todos os empréstimos e dividir pelo número de empréstimos.
  • Mediana (valor central): para N par, é a média entre a N/2-ésima e a (N/2+1)-ésima observação ordenada.
    • Aqui N/2=20. A 20^\text{a} observação é \,900 e a 21^\text{a} é \,950.
\text{Mediana} = \dfrac{900+950}{2} = 925.
Explicação: mediana é o valor que deixa 50\% das observações abaixo.
  • Moda (valor mais frequente): contando repetições, \,1000 aparece \,3 vezes (mais que qualquer outro valor). Logo:
\text{Moda} = 1000.

Passo 5

Cálculo de quartis, amplitude e IQR (explicando):
  • Primeiro quartil \,Q_1: mediana da metade inferior (observações 1 a 20). Para essa metade, Q_1 é a média da 10^\text{a} e 11^\text{a} observações da amostra completa:
    • 10^\text{a}=550, 11^\text{a}=600 então
Q_1 = \dfrac{550+600}{2} = 575.
  • Terceiro quartil \,Q_3: mediana da metade superior (observações 21 a 40), média da 30^\text{a} e 31^\text{a}: 30^\text{a}=1400, 31^\text{a}=1500,
Q_3 = \dfrac{1400+1500}{2} = 1450.
  • Intervalo interquartílico (IQR):
\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 1450 - 575 = 875.
  • Amplitude (range):
\text{Amplitude} = \text{máx} - \text{mín} = 3000 - 300 = 2700.áí

Passo 6

Cálculo da dispersão: variância e desvio-padrão (passo a passo e interpretação):
  • Para calcular variância precisamos de \sum x_i^2. Usei a contagem por valores (frequências) para facilitar; o somatório dos quadrados deu
\sum_{i=1}^{40} x_i^2 = 60\,845\,000.
  • Variância populacional (quando tratamos os \,40 empréstimos como todo o conjunto disponível; fórmula: \sigma^2 = \dfrac{1}{N}\sum x_i^2 - \bar{x}^2):
\sigma^2 = \dfrac{60\,845\,000}{40} - (1067{,}5)^2 = 1\,521\,125 - 1\,139\,556{,}25 = 381\,568{,}75.
  • Desvio-padrão populacional:
\sigma = \sqrt{381\,568{,}75} \approx 617{,}7.
Explicação: o desvio-padrão mede, em reais, o espalhamento típico dos empréstimos em torno da média.
  • (Se fosse necessário o desvio-padrão amostral para inferência, usaríamos s=\sqrt{\dfrac{N}{N-1}\sigma^2}; aqui s\approx 625{,}2.)
  • Coeficiente de variação (medida relativa da dispersão):
\text{CV} = \dfrac{\sigma}{\bar{x}} \approx \dfrac{617{,}7}{1067{,}5} \approx 0{,}579 \quad\text{(ou }57{,}9\%\text{)}.
Interpretação: alto CV indica que os empréstimos variam bastante em relação à média.

Passo 7

Interpretação geral e comentários práticos para investidores (linguagem direta e útil):
  • Onde está a maior parte dos empréstimos?
    • A tabela mostra que \,40\% dos empréstimos estão na faixa \,300 \,799 e \,30\% em \,800 \,1299. Ou seja, 70\% dos empréstimos estão abaixo de \,1\,300. Isso indica foco da carteira em empréstimos de pequeno/médio valor.
  • Tendência central:
    • A média é \,\bar{x}=1067{,}5 e a mediana é \,925. A média maior que a mediana sugere assimetria à direita (há empréstimos relativamente grandes puxando a média para cima).
  • Dispersão e risco:
    • Amplitude \,2700 e desvio-padrão \,\approx 617{,}7 mostram que há variabilidade considerável entre os empréstimos.
    • Coeficiente de variação \,\approx 57{,}9\% confirma variabilidade alta em termos relativos.
  • Outliers / observações influentes:
    • Valores como \,2500 e \,3000 são bem maiores que a maior parte dos empréstimos; eles aumentam a média e a variabilidade. Para decisões de risco, a mediana e o IQR são mais robustos.
  • Recomendações para apresentação aos investidores:
    • Mostrar a tabela de classes (como fiz) e um histograma para visualizar concentração.
    • Apresentar média e mediana: informe que a mediana ( \,925) representa melhor o “típico” empréstimo do que a média ( \,1067{,}5), devido aos poucos empréstimos grandes.
    • Destacar o IQR ( \,875) e as faixas com maior frequência ( \,300 \,1299 juntando as duas primeiras classes, que contêm 70\% das operações).
    • Se for avaliar risco de inadimplência, separar análise por faixas e tratar empréstimos muito altos (como \,2500,3000) de forma específica, pois têm impacto maior sobre perdas potenciais.
  • Conclusão curta para investidores:
    • Carteira concentrada em empréstimos de pequeno/médio porte; média puxada para cima por poucos valores grandes; variabilidade relativamente alta—usar mediana e IQR para medidas robustas e destacar concentração por faixas na apresentação.

Resposta

Classe \,300\text{—}799: f=16 (40%)\nClasse \,800\text{—}1299: f=12 (30%)\nClasse \,1300\text{—}1799: f=6 (15%)\nClasse \,1800\text{—}2299: f=4 (10%)\nClasse \,2300\text{—}2799: f=1 (2{,}5%)\nClasse \,2800\text{—}3299: f=1 (2{,}5%)\nMédia = 1067{,}5\nMediana = 925\nModa = 1000\nAmplitude = 2700\n Q_1=575, Q_3=1450, IQR = 875\nDesvio-padrão (pop.) ≈ 617{,}7\nCoeficiente de variação ≈ 57{,}9\%

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