A tabela abaixo apresenta os montantes de 40 empréstimos pessoais (em reais) em uma companhia financeira. Suponha que você deverá apresentar a um grupo de investidores os resultados da companhia utilizando-se apenas destes dados. Monte uma tabela para um melhor entendimento dos resultados. Interprete e comente-os.
300
300
350
350
450
450
500
500
550
550
600
600
650
700
750
750
850
850
900
900
950
1000
1000
1000
1100
1200
1200
1250
1300
1400
1500
1500
1600
1650
1800
1900
2000
2000
2500
3000
| 300 | 300 | 350 | 350 | 450 | 450 | 500 | 500 |
| 550 | 550 | 600 | 600 | 650 | 700 | 750 | 750 |
| 850 | 850 | 900 | 900 | 950 | 1000 | 1000 | 1000 |
| 1100 | 1200 | 1200 | 1250 | 1300 | 1400 | 1500 | 1500 |
| 1600 | 1650 | 1800 | 1900 | 2000 | 2000 | 2500 | 3000 |
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Montar uma tabela que torne os resultados (os montantes dos
empréstimos) mais fáceis de entender para investidores. - Interpretar e comentar esses resultados.
Informações dadas (os dados já ordenados na tabela do enunciado):
Informações relevantes para a tarefa (resumidas):
- Tamanho da amostra:
. - Valores mínimos e máximos visíveis na tabela:
e . - Deve-se apresentar uma tabela (sugestão: tabela de frequências agrupada) e interpretar medidas de posição e dispersão para uso por investidores.
Passo 2
Decisão do método e justificativa (explicando didaticamente):
- O enunciado não exige método específico, então vamos apresentar uma tabela de frequência agrupada (boa para exposição a investidores) e calcular medidas descritivas (média, mediana, moda, quartis, amplitude, desvio-padrão, coeficiente de variação).
- Por que tabela de classes? Porque temos
observações e elas variam bastante ( até ). Agrupar em classes facilita visualizar concentração de empréstimos por faixa. - Quantas classes usar? Uma regra simples é a Regra de Sturges:
. Para ,
logo escolhemos
classes (número prático).
- Como escolher largura de classe? Largura aproximada
. A amplitude é , então . Para facilitar a leitura dos investidores, escolhi larguras arredondadas de (classes limpas), cobrindo todo o intervalo.
Passo 3
Construção da tabela de frequência agrupada (passo a passo e contagem explícita):
- Escolhi classes de largura
começando em . As classes (com limite inferior incluído) e quais observações caem em cada uma: - Classe 1:
a . Contém os valores . Frequência . - Classe 2:
a . Contém . Frequência . - Classe 3:
a . Contém . Frequência . - Classe 4:
a . Contém . Frequência . - Classe 5:
a . Contém . Frequência . - Classe 6:
a . Contém . Frequência .
- Classe 1:
Agora a tabela com frequências absolutas, relativas e acumuladas (valores calculados):
(Confirme: as frequências somam
e as percentagens somam
.)
Passo 4
Cálculo das medidas de posição (explicando cada fórmula e passo):
- Soma dos valores (para a média). Somei todas as
observações (mostro o resultado do somatório):
- Média aritmética (indicador de tendência central; cada observação contribui igualmente):
Explicação:
é o “valor médio”, resultado de somar todos os empréstimos e dividir pelo número de empréstimos.
- Mediana (valor central): para
par, é a média entre a -ésima e a -ésima observação ordenada. - Aqui
. A observação é e a é .
- Aqui
Explicação: mediana é o valor que deixa
das observações abaixo.
- Moda (valor mais frequente): contando repetições,
aparece vezes (mais que qualquer outro valor). Logo:
Passo 5
Cálculo de quartis, amplitude e IQR (explicando):
- Primeiro quartil
: mediana da metade inferior (observações a ). Para essa metade, é a média da e observações da amostra completa: -
, então
-
- Terceiro quartil
: mediana da metade superior (observações a ), média da e : , ,
- Intervalo interquartílico (IQR):
- Amplitude (range):
Passo 6
Cálculo da dispersão: variância e desvio-padrão (passo a passo e interpretação):
- Para calcular variância precisamos de
. Usei a contagem por valores (frequências) para facilitar; o somatório dos quadrados deu
- Variância populacional (quando tratamos os
empréstimos como todo o conjunto disponível; fórmula: ):
- Desvio-padrão populacional:
Explicação: o desvio-padrão mede, em reais, o espalhamento típico dos empréstimos em torno da média.
-
(Se fosse necessário o desvio-padrão amostral para inferência, usaríamos
; aqui .) -
Coeficiente de variação (medida relativa da dispersão):
Interpretação: alto CV indica que os empréstimos variam bastante em relação à média.
Passo 7
Interpretação geral e comentários práticos para investidores (linguagem direta e útil):
- Onde está a maior parte dos empréstimos?
- A tabela mostra que
dos empréstimos estão na faixa – e em – . Ou seja, dos empréstimos estão abaixo de . Isso indica foco da carteira em empréstimos de pequeno/médio valor.
- A tabela mostra que
- Tendência central:
- A média é
e a mediana é . A média maior que a mediana sugere assimetria à direita (há empréstimos relativamente grandes puxando a média para cima).
- A média é
- Dispersão e risco:
- Amplitude
e desvio-padrão mostram que há variabilidade considerável entre os empréstimos. - Coeficiente de variação
confirma variabilidade alta em termos relativos.
- Amplitude
- Outliers / observações influentes:
- Valores como
e são bem maiores que a maior parte dos empréstimos; eles aumentam a média e a variabilidade. Para decisões de risco, a mediana e o IQR são mais robustos.
- Valores como
- Recomendações para apresentação aos investidores:
- Mostrar a tabela de classes (como fiz) e um histograma para visualizar concentração.
- Apresentar média e mediana: informe que a mediana (
) representa melhor o “típico” empréstimo do que a média ( ), devido aos poucos empréstimos grandes. - Destacar o IQR (
) e as faixas com maior frequência ( – juntando as duas primeiras classes, que contêm das operações). - Se for avaliar risco de inadimplência, separar análise por faixas e tratar empréstimos muito altos (como
) de forma específica, pois têm impacto maior sobre perdas potenciais.
- Conclusão curta para investidores:
- Carteira concentrada em empréstimos de pequeno/médio porte; média puxada para cima por poucos valores grandes; variabilidade relativamente alta—usar mediana e IQR para medidas robustas e destacar concentração por faixas na apresentação.
Resposta
Classe
:
(40%)\nClasse
:
(30%)\nClasse
:
(15%)\nClasse
:
(10%)\nClasse
:
(2{,}5%)\nClasse
:
(2{,}5%)\nMédia =
\nMediana =
\nModa =
\nAmplitude =
\n
,
, IQR =
\nDesvio-padrão (pop.) ≈
\nCoeficiente de variação ≈