Relacionando a composição de fundo (XB) com a vazão de refluxo (R) de uma coluna de destilação, a seguinte função de transferência foi obtida:
XB(s)R(s)=7 cdot e^-7 cdot s11 cdot s+1
Quando um degrau de magnitude qualquer é aplicado a variável R, qual o tempo que XB leva para alcançar 99,33 % da sua variação total?
(a) 11
(b) 18
(c) 55
(d) 62
(e) 90

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência de um sistema de primeira ordem com atraso (dead time):
XB(s)R(s) = 7,e^-7s11,s + 1
Precisamos determinar o tempo que XB(t) leva para atingir 99,33% da sua variação final quando aplicamos um degrau em R.

Passo 2

Identificamos os parâmetros do modelo:
  • Atraso (dead time) L = 7.
  • Tempo de constante de primeira ordem tau obtido de 11,s + 1:
tau = 11

Passo 3

Sabendo que a resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem com ganho K, constante tau e atraso L é, para t > L,
xB(t) = K cdot u0l(1 - e^-t - Ltaur),
essa saída atinge p% da variação final quando
1 - e^-tp - Ltau = p,
ou seja
e^-tp - Ltau = 1 - p

Passo 4

No caso p = 0,9933, temos
1 - p = 1 - 0,9933 = 0,0067 Longrightarrow -tp - Ltau = ln(0,0067) approx -5
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tp - Ltau = 5 Longrightarrow tp = L + 5,tau = 7 + 5cdot 11 = 62

Resposta

62

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