Erboce a região de integração e mude a ordem da integração.
\int_{-2}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4-y}} f(x, y) d x d y

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
\int_{y=-2}^{2}\int_{x=0}^{\sqrt{4-y}}f(x,y)\,dx\,dy
e pede para esboçar a região de integração R e trocar a ordem de integração. Vamos usar projeções no eixo x e y para reescrever os limites.

Passo 2

A região R é
R=\{(x,y)\mid -2\le y\le 2,\;0\le x\le \sqrt{4-y}\}.
O limite x=\sqrt{4-y} equivale à curva
y=4-x^2.
Em y=-2 temos x\le\sqrt{6} e em y=2 temos x\le\sqrt{2}. O lado esquerdo é a reta x=0.

Passo 3

Para inverter a ordem, projetamos R no eixo x. Como x vai de 0 até o máximo de \sqrt{4-y}, que ocorre em y=-2, obtemos
0\le x\le \sqrt{6}.

Passo 4

Para cada x\in[0,\sqrt{6}], o y varia do valor mínimo da região, y=-2, até a curva superior y=4-x^2. Note que para x=0 até \sqrt{6}, 4-x^2 desce de 4 até -2, cobrindo exatamente o intervalo vertical de R.

Passo 5

Portanto, a integral com ordem trocada fica
\int_{x=0}^{\sqrt{6}}\int_{y=-2}^{4-x^2}f(x,y)\,dy\,dx.

Resposta

\int_{0}^{\sqrt{6}}\int_{-2}^{\,4-x^2}f(x,y)\,dy\,dx.

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