Erboce a região de integração e mude a ordem da integração.
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede para esboçar a região de integração
e trocar a ordem de integração. Vamos usar projeções no eixo
e
para reescrever os limites.
Passo 2
A região
é
O limite
equivale à curva
Em
temos
e em
temos
. O lado esquerdo é a reta
.
Passo 3
Para inverter a ordem, projetamos
no eixo
. Como
vai de
até o máximo de
, que ocorre em
, obtemos
Passo 4
Para cada
, o
varia do valor mínimo da região,
, até a curva superior
. Note que para
até
,
desce de
até
, cobrindo exatamente o intervalo vertical de
.
Passo 5
Portanto, a integral com ordem trocada fica