Nas relações abaixo considere que as grandezas x, y e z foram medidas e têm incertezas conhecidas u(x), u(y) e u(z), respectivamente. Além disso, \alpha, \beta e \gamma são constantes. Determine a função que deve ser usada para calcular as incertezas u(A), u(B), u\text{(C)}, u(D), u(E), u(F), u(G), u(H) e u(I) das grandezas A, B, C, D, E, F, G, H e I em função das grandezas medidas e suas incertezas. A=\beta x+3 y+z, \quad B=\frac{y}{z}, \quad C=\alpha z y^{2}, \quad D=\frac{7}{\alpha} \frac{1}{z}, \quad E=\sqrt{\frac{x}{y}}, \quad F=\frac{\beta x y^{3}}{z^{4}}, G=e^{\beta y}, \quad H=\frac{x y}{x+y}, \quad I=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}.
Passo 1
O enunciado dá que as grandezas medidas são x, y e z, com incertezas conhecidas u(x), u(y) e u(z). As constantes são \alpha, \beta e \gamma (essas últimas são dadas e não têm incerteza aqui). As grandezas que queremos as incertezas são
A=\beta x+3y+z,\quad B=\frac{y}{z},\quad C=\alpha z y^{2},\quad D=\frac{7}{\alpha}\frac{1}{z},
E=\sqrt{\frac{x}{y}},\quad F=\frac{\beta x y^{3}}{z^{4}},\quad G=e^{\beta y},\quad H=\frac{x y}{x+y},\quad I=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}.
O pedido é: para cada uma dessas grandezas, determinar a função que deve ser usada para calcular a incerteza u(\cdot) em função de x,y,z e de u(x),u(y),u(z).
Passo 2
Vamos usar a regra geral de propagação de incertezas para funções de variáveis independentes (assumimos aqui que x,y,z são estatisticamente independentes). A fórmula geral é a seguinte:
onde f=f(x,y,z) é a função cujo erro queremos e \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} são as derivadas parciais de f em relação a cada variável medida. Explico rápido o que cada coisa significa, bem devagar:
\frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f variando só x (mantendo y,z fixos). Ela nos diz quanto f muda se x muda um pouquinho.
Multiplicamos essa derivada por u(x) porque a incerteza de x provoca uma incerteza correspondente em f.
Como as incertezas de x,y,z são independentes, somamos em quadratura (raiz da soma dos quadrados) os efeitos individuais.
Sempre que uma variável não aparece na função, a derivada parcial em relação a ela é zero e o termo correspondente some.
Passo 3
Vou aplicar a fórmula acima em cada função. Para cada caso eu calculo as derivadas parciais explicitamente e em seguida escrevo u(\cdot). Fique tranquilo: vou explicar cada derivada e simplificar passo a passo.
\frac{\partial F}{\partial y}= \frac{\beta x\cdot 3y^{2}}{z^{4}}=\frac{3\beta x y^{2}}{z^{4}},
\frac{\partial F}{\partial z}= \beta x y^{3}\cdot(-4) z^{-5}=-\frac{4\beta x y^{3}}{z^{5}}.
Aplicando a fórmula:
u(F)=\sqrt{\left(\frac{\beta y^{3}}{z^{4}}\,u(x)\right)^{2}+\left(\frac{3\beta x y^{2}}{z^{4}}\,u(y)\right)^{2}+\left(-\frac{4\beta x y^{3}}{z^{5}}\,u(z)\right)^{2}}.