Nas relações abaixo considere que as grandezas x, y e z foram medidas e têm incertezas conhecidas u(x), u(y) e u(z), respectivamente. Além disso, \alpha, \beta e \gamma são constantes. Determine a função que deve ser usada para calcular as incertezas u(A), u(B), u\text{(C)}, u(D), u(E), u(F), u(G), u(H) e u(I) das grandezas A, B, C, D, E, F, G, H e I em função das grandezas medidas e suas incertezas.
A=\beta x+3 y+z, \quad B=\frac{y}{z}, \quad C=\alpha z y^{2}, \quad D=\frac{7}{\alpha} \frac{1}{z}, \quad E=\sqrt{\frac{x}{y}}, \quad F=\frac{\beta x y^{3}}{z^{4}}, G=e^{\beta y}, \quad H=\frac{x y}{x+y}, \quad I=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 1

O enunciado dá que as grandezas medidas são x, y e z, com incertezas conhecidas u(x), u(y) e u(z). As constantes são \alpha, \beta e \gamma (essas últimas são dadas e não têm incerteza aqui). As grandezas que queremos as incertezas são
A=\beta x+3y+z,\quad B=\frac{y}{z},\quad C=\alpha z y^{2},\quad D=\frac{7}{\alpha}\frac{1}{z},
E=\sqrt{\frac{x}{y}},\quad F=\frac{\beta x y^{3}}{z^{4}},\quad G=e^{\beta y},\quad H=\frac{x y}{x+y},\quad I=\frac{1}{\operatorname{sen}(x)}.
O pedido é: para cada uma dessas grandezas, determinar a função que deve ser usada para calcular a incerteza u(\cdot) em função de x,y,z e de u(x),u(y),u(z).

Passo 2

Vamos usar a regra geral de propagação de incertezas para funções de variáveis independentes (assumimos aqui que x,y,z são estatisticamente independentes). A fórmula geral é a seguinte:
u(f)=\sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\,u(x)\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\,u(y)\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial z}\,u(z)\right)^{2}},
onde f=f(x,y,z) é a função cujo erro queremos e \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} são as derivadas parciais de f em relação a cada variável medida. Explico rápido o que cada coisa significa, bem devagar:
  • \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f variando só x (mantendo y,z fixos). Ela nos diz quanto f muda se x muda um pouquinho.
  • Multiplicamos essa derivada por u(x) porque a incerteza de x provoca uma incerteza correspondente em f.
  • Como as incertezas de x,y,z são independentes, somamos em quadratura (raiz da soma dos quadrados) os efeitos individuais.
Sempre que uma variável não aparece na função, a derivada parcial em relação a ela é zero e o termo correspondente some.

Passo 3

Vou aplicar a fórmula acima em cada função. Para cada caso eu calculo as derivadas parciais explicitamente e em seguida escrevo u(\cdot). Fique tranquilo: vou explicar cada derivada e simplificar passo a passo.

Passo 4

Derivadas parciais:
\frac{\partial A}{\partial x}=\beta,\qquad \frac{\partial A}{\partial y}=3,\qquad \frac{\partial A}{\partial z}=1.
Aplicando a fórmula de propagação:
u(A)=\sqrt{\left(\beta\,u(x)\right)^{2}+\left(3\,u(y)\right)^{2}+\left(1\cdot u(z)\right)^{2}}.

Passo 5

Derivadas parciais:
\frac{\partial B}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial B}{\partial y}=\frac{1}{z},\qquad \frac{\partial B}{\partial z}=-\frac{y}{z^{2}}.
Aplicando a fórmula:
u(B)=\sqrt{\left(\frac{1}{z}\,u(y)\right)^{2}+\left(-\frac{y}{z^{2}}\,u(z)\right)^{2}}.

Passo 6

Derivadas parciais:
\frac{\partial C}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial C}{\partial y}=2\alpha y z,\qquad \frac{\partial C}{\partial z}=\alpha y^{2}.
Aplicando a fórmula:
u\text{(C)}=\sqrt{\left(2\alpha y z\,u(y)\right)^{2}+\left(\alpha y^{2}\,u(z)\right)^{2}}.

Passo 7

Derivadas parciais:
\frac{\partial D}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial D}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial D}{\partial z}=-\frac{7}{\alpha}\frac{1}{z^{2}}.
Aplicando a fórmula (só o termo em z aparece):
u(D)=\sqrt{\left(-\frac{7}{\alpha}\frac{1}{z^{2}}\,u(z)\right)^{2}} =\left|\frac{7}{\alpha}\right|\frac{1}{z^{2}}\,u(z).
Obs.: a raiz do quadrado tira o sinal, por isso pode-se escrever com valor absoluto de \alpha se desejar.

Passo 8

Escrevendo E=(x/y)^{1/2}=x^{1/2}y^{-1/2}.
Derivadas parciais:
\frac{\partial E}{\partial x}=\frac{1}{2}x^{-1/2}y^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x y}},
\frac{\partial E}{\partial y}=-\frac{1}{2}x^{1/2}y^{-3/2}=-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{y^{3/2}},
\frac{\partial E}{\partial z}=0.
Aplicando a fórmula:
u(E)=\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{x y}}\,u(x)\right)^{2}+\left(-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{y^{3/2}}\,u(y)\right)^{2}}.

Passo 9

Derivadas parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}=\frac{\beta y^{3}}{z^{4}},
\frac{\partial F}{\partial y}= \frac{\beta x\cdot 3y^{2}}{z^{4}}=\frac{3\beta x y^{2}}{z^{4}},
\frac{\partial F}{\partial z}= \beta x y^{3}\cdot(-4) z^{-5}=-\frac{4\beta x y^{3}}{z^{5}}.
Aplicando a fórmula:
u(F)=\sqrt{\left(\frac{\beta y^{3}}{z^{4}}\,u(x)\right)^{2}+\left(\frac{3\beta x y^{2}}{z^{4}}\,u(y)\right)^{2}+\left(-\frac{4\beta x y^{3}}{z^{5}}\,u(z)\right)^{2}}.

Passo 10

Derivadas parciais:
\frac{\partial G}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial G}{\partial y}=\beta e^{\beta y},\qquad \frac{\partial G}{\partial z}=0.
Aplicando a fórmula (só o termo em y):
u(G)=\sqrt{\left(\beta e^{\beta y}\,u(y)\right)^{2}}=\left|\beta\right| e^{\beta y}\,u(y).

Passo 11

Derivadas parciais (usei derivada de quociente; por simetria aparecem formas simples):
\frac{\partial H}{\partial x}=\frac{y^{2}}{(x+y)^{2}},\qquad \frac{\partial H}{\partial y}=\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}},\qquad \frac{\partial H}{\partial z}=0.
Aplicando a fórmula:
u(H)=\sqrt{\left(\frac{y^{2}}{(x+y)^{2}}\,u(x)\right)^{2}+\left(\frac{x^{2}}{(x+y)^{2}}\,u(y)\right)^{2}}.

Passo 12

Escrevendo I=\csc(x).
Derivada parcial:
\frac{\partial I}{\partial x}=-\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}.
Aplicando a fórmula (só o termo em x):
u(I)=\sqrt{\left(-\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}\,u(x)\right)^{2}} =\left|\frac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}\right|\,u(x).

Resposta

u(A)=\sqrt{\left(\beta\,u(x)\right)^{2}+\left(3\,u(y)\right)^{2}+\left(u(z)\right)^{2}}
u(B)=\sqrt{\left(\dfrac{1}{z}\,u(y)\right)^{2}+\left(-\dfrac{y}{z^{2}}\,u(z)\right)^{2}}
u\text{(C)}=\sqrt{\left(2\alpha y z\,u(y)\right)^{2}+\left(\alpha y^{2}\,u(z)\right)^{2}}
u(D)=\sqrt{\left(-\dfrac{7}{\alpha}\dfrac{1}{z^{2}}\,u(z)\right)^{2}}=\left|\dfrac{7}{\alpha}\right|\dfrac{1}{z^{2}}\,u(z)
u(E)=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x y}}\,u(x)\right)^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\dfrac{\sqrt{x}}{y^{3/2}}\,u(y)\right)^{2}}
u(F)=\sqrt{\left(\dfrac{\beta y^{3}}{z^{4}}\,u(x)\right)^{2}+\left(\dfrac{3\beta x y^{2}}{z^{4}}\,u(y)\right)^{2}+\left(-\dfrac{4\beta x y^{3}}{z^{5}}\,u(z)\right)^{2}}
u(G)=\sqrt{\left(\beta e^{\beta y}\,u(y)\right)^{2}}=\left|\beta\right| e^{\beta y}\,u(y)
u(H)=\sqrt{\left(\dfrac{y^{2}}{(x+y)^{2}}\,u(x)\right)^{2}+\left(\dfrac{x^{2}}{(x+y)^{2}}\,u(y)\right)^{2}}
u(I)=\sqrt{\left(-\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}\,u(x)\right)^{2}}=\left|\dfrac{\cos(x)}{\sin^{2}(x)}\right|\,u(x)

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