Relações Fundamentais - Avançado
Determine \cos (3 x) em função de \cos (x).

Passo 1

O enunciado pede para determinar \cos(3x) em função de \cos(x). Este é o que chamamos de identidade de ângulo triplo. Para resolver, vamos usar a fórmula do cosseno da soma de ângulos e as fórmulas de ângulo duplo para cosseno e seno.

Passo 2

Pela fórmula de soma, temos:
\cos(3x) = \cos(2x + x) = \cos(2x)\cos(x) - \sin(2x)\sin(x).

Passo 3

Usamos as identidades de ângulo duplo:
\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1, \quad \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x).

Passo 4

Substituindo em \cos(3x) obtemos
\cos(3x) = \bigl(2\cos^2(x)-1\bigr)\cos(x) - \bigl(2\sin(x)\cos(x)\bigr)\sin(x).
Desenvolvendo:
\cos(3x) = 2\cos^3(x) - \cos(x) - 2\cos(x)\sin^2(x).

Passo 5

Aplicando \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x):
-2\cos(x)\sin^2(x) = -2\cos(x)\bigl(1 - \cos^2(x)\bigr) = -2\cos(x) + 2\cos^3(x).
Logo,
\cos(3x) = 2\cos^3(x) + 2\cos^3(x) - \cos(x) - 2\cos(x) = 4\cos^3(x) -3\cos(x).

Resposta

\cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x)

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