Relações Fundamentais - Avançado
Prove que \frac{1}{1+\cot ^{2}(x)}=\operatorname{sen}^{2}(x).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade trigonométrica
\frac{1}{1+\cot^{2}(x)} = \operatorname{sen}^{2}(x).
Para isso vamos usar a definição de \cot(x) em termos de seno e cosseno e a identidade pitagórica básica \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.

Passo 2

Começamos lembrando que
\cot(x)=\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)},
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\cot^{2}(x)=\frac{\cos^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}.
Assim,
1+\cot^{2}(x) =1+\frac{\cos^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)} =\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)}{\operatorname{sen}^{2}(x)}.

Passo 3

Pela identidade pitagórica \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1, obtemos
1+\cot^{2}(x)=\frac{1}{\operatorname{sen}^{2}(x)}.

Passo 4

Basta inverter cada lado da igualdade anterior:
\frac{1}{1+\cot^{2}(x)} =\operatorname{sen}^{2}(x).

Resposta

\operatorname{sen}^{2}(x)

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