Relações Fundamentais - Avançado
Simplifique \frac{\operatorname{sec} (x)-1}{\operatorname{sec} (x)+1}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão trigonométrica
\frac{\operatorname{sec}(x)-1}{\operatorname{sec}(x)+1}.
Aqui o conteúdo é transformação de funções trigonométricas usando a definição de \operatorname{sec}(x) e as fórmulas de ângulo metade para 1\pm\cos(x).

Passo 2

Usamos \operatorname{sec}(x)=\tfrac{1}{\cos(x)}. Então
\frac{\operatorname{sec}(x)-1}{\operatorname{sec}(x)+1} =\frac{\tfrac{1}{\cos(x)}-1}{\tfrac{1}{\cos(x)}+1} =\frac{\tfrac{1 - \cos(x)}{\cos(x)}}{\tfrac{1 + \cos(x)}{\cos(x)}} =\frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}.

Passo 3

Aplicamos as fórmulas de ângulo metade:
1 - \cos(x)=2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), \qquad 1 + \cos(x)=2\cos^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).
Substituindo em \frac{1 - \cos(x)}{1 + \cos(x)}
\frac{2\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{2\cos^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\cos^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}.

Passo 4

A relação \tan(u)=\tfrac{\sin(u)}{\cos(u)} implica
\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)}{\cos^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} =\tan^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

Resposta

\tan^2\!\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr).

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